Matrizenberechnung mit reellen Parametern

18.06.2012, 22:35

Nullinger

Matrizenberechnung mit reellen Parametern

Guten Abend zusammen,

folgendes Problem:

ich habe die Matrix A gegeben:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & 4 & 0 \\ 1 & 0 & 3 & a \\ 1 & 2 & a & 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

genauer gesagt 2 Matrizen

A1 für a=0 und A2 mit parametern. Noch dazu habe ich den vektor b gegeben.

b: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4 \\ 6 \\ 9 \\ 11 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Aufgabenstellung lauted:

Die Matrix A 2
hängt von einem reellen Parameter a ab, die Matrix A2 stimmt für a = 0
mit der Matrix A1 überein.
(a) Berechnen Sie detA1.
(b) Ist das lineare Gleichungssystem A1 · x = b lösbar oder unlösbar?

Begründen Sie ihre Antwort!
(c) i. Für welchen reellen Parameter a ist A2 · x = b mehrdeutig lösbar?

ii. Für welchen reellen Parameter a ist A2 · x = b unlösbar?

iii. Für welche reellen Parameter a ist A2 · x = b eindeutig lösbar?

iv. Bestimmen Sie für a = 3 die Lössung des linearen Gleichungssystems A2 · x = b

a) det = 0 b) nicht lösbar da der Rang der Matrix A kleiner ist, als die der Matrix mit dem Vektor b.

bei c hänge ich nun etwas. Ich habe versucht die Matrix A2 mit Gauss auf Dreiecksform zu bringen(Vektor b mit eingeschrieben) , bin auch bei der letzen Zeile angekommen, aber dort verrechne ich mich jedesmal.... Aber ich brauch ja die letze Zahl der Matrix sowie die letze Zahl des vektors um x und y zu definieren und anzugeben mit welchem a es eindeutig, mehrdeutig und unlösbar ist.
Habe es wirklich 3 mal gerechnet und 3 mal kommt etwas anderes heraus, könnt ihr mir weiterhelfen?

19.06.2012, 23:31

frank09

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RE: Matrizenberechnung mit reellen Parametern
$\begin{eqnarray*} \left(\begin{array}{cccc|c}<br /> 1 & 1 & 2 & 1&4 \\ 0 & 1 & 0 & -2&-2 \\ 0 & -1 & 1 & (a-1)&5 \\ 0 & 1 & (a-2) & 4&7 \end{array}\right) \end{eqnarray*}$

Um links die ersten 3 Nullen zu erzeugen, komme ich auf diese erweiterte Matrix.

Nun kannst du in den letzten beiden Zeilen die 2.Spalte auf null setzen, indem du z.B. die 2. und 3. Zeile addierst und die 2. von der 4. subtrahierst. Worauf kommst du dann?

26.06.2012, 17:42

Nullinger

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Hey, erst mal sorry das ich erst so spät antworte, hatte einiges um die Ohren.

ich komme auch auf diese erweiterte Matrix wie du

$\begin{eqnarray*} \left(\begin{array}{cccc|c}<br /> 1 & 1 & 2 & 1&4 \\ 0 & 1 & 0 & -2&-2 \\ 0 & -1 & 1 & (a-1)&5 \\ 0 & 1 & (a-2) & 4&7 \end{array}\right) \end{eqnarray*}$

die nächste wäre bei mir

$\begin{eqnarray*} \left(\begin{array}{cccc|c}<br /> 1 & 1 & 2 & 1&4 \\ 0 & 1 & 0 & -2&-2 \\ 0 & 0 & 1 & (a-3)&3 \\ 0 & 0 & (a-2) & 6&9 \end{array}\right) \end{eqnarray*}$

stimmt das soweit? Denn in der nächsten hänge ich an der letzen Zeile...

Lg und vielen Dank für deine Antwort!

27.06.2012, 16:30

frank09

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RE: Matrizenberechnung mit reellen Parametern
Nun multipliziert du die 3. Zeile mit
$\begin{eqnarray*} -(a-2)=(-a+2) \end{eqnarray*}$
und addierst sie zur 4.

02.07.2012, 17:23

Nullinger

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RE: Matrizenberechnung mit reellen Parametern
und hier steht nun $\begin{eqnarray*} (-a^2+5a) \end{eqnarray*}$

03.07.2012, 19:09

frank09

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RE: Matrizenberechnung mit reellen Parametern
Nun überlege für welche a dieser Ausdruck null wird und was dann mit dem untersten Eintrag des mitumgeformten Lösungsvektors geschieht.

03.07.2012, 23:28

Nullinger

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hier steht nun:

$\begin{eqnarray*} -a^2+5a = -3a +15 \end{eqnarray*}$

darauf folgt: $\begin{eqnarray*} -a^2+8a-15 = 0 \end{eqnarray*}$

und jetzt die mitternachtsformel oder?

lg

04.07.2012, 00:13

Nullinger

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Zitat:

Original von Nullinger
hier steht nun:

$\begin{eqnarray*} -a^2+5a = -3a +15 \end{eqnarray*}$

darauf folgt: $\begin{eqnarray*} -a^2+8a-15 = 0 \end{eqnarray*}$

und jetzt die mitternachtsformel oder?

lg

Edit: ich glaube das ist Falsch... Die Diskriminante würde dabei nämlich 0 werden.

ich kann ja für $\begin{eqnarray*} -a^2 +5a \end{eqnarray*}$ auch schreiben: $\begin{eqnarray*} a(5-a) \end{eqnarray*}$ kann ich dies nun als x bezeichnen?
Denn dann würde ich $\begin{eqnarray*} -3a +15 \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} 3(5-a) \end{eqnarray*}$ schreiben und als y bezeichnen.

So könnte ich jedenfalls für Aufgabe i) als Antwort schreiben:

Für $\begin{eqnarray*} a =0 \end{eqnarray*}$
Denn dann wird $\begin{eqnarray*} x = 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y= 15 \end{eqnarray*}$ und somit ist es mehrdeutig lösbar oder?

Daraus würde folgen, dass ii) für $\begin{eqnarray*} a = 5 \end{eqnarray*}$ gilt und

iii) für a ungleich 5

Stimmt das soweit?

Lg

04.07.2012, 00:29

frank09

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Für a=0 lautet die letzte Zeile

$\begin{eqnarray*} 0 0 0 0 |15 \Leftrightarrow 0=15 \end{eqnarray*}$ (immer falsch!)

Für a=5
$\begin{eqnarray*} 0000|0 \end{eqnarray*}$ (überflüssig,weil immer richtig)=> die 3. Zeile ist maßgebend:
$\begin{eqnarray*} x_3+2x_4=3 \end{eqnarray*}$ (eindeutig?)

04.07.2012, 01:09

Nullinger

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Zitat:

Original von frank09
Für a=0 lautet die letzte Zeile

$\begin{eqnarray*} 0 0 0 0 |15 \Leftrightarrow 0=15 \end{eqnarray*}$ (immer falsch!)

Für a=5
$\begin{eqnarray*} 0000|0 \end{eqnarray*}$ (überflüssig,weil immer richtig)=> die 3. Zeile ist maßgebend:
$\begin{eqnarray*} x_3+2x_4=3 \end{eqnarray*}$ (eindeutig?)

also ist sie für a=0 nie lösbar oder?

gut für a=5 bekomme ich in der 4. Zeile 0000|0

darauß folgt, $\begin{eqnarray*} x_4 = 0 \end{eqnarray*}$

das würde bedeuten, dass $\begin{eqnarray*} x_3 + 2*0= 3 \end{eqnarray*}$ ist und dieß wäre eindeutig.

Das würde wiederrum bedeuten, dass meine Matrix für a = 5 eindeutig lösbar wäre, oder?

Okay, nur für welchen Parameter a ist meine Matrix dann mehrdeutig lösbar?

LG

04.07.2012, 19:36

frank09

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Zitat:

gut für a=5 bekomme ich in der 4. Zeile 0000|0

darauß folgt, $\begin{eqnarray*} x_4 = 0 \end{eqnarray*}$

Nein, daraus folgt nichts.

Wie schon erwähnt ist diese Zeile überflüssig, denn sie besagt

$\begin{eqnarray*} 0x_1+0x_2+0x_3+0x_4 = 0 \end{eqnarray*}$ und das gilt für alle Werte von $\begin{eqnarray*} x_1-x_4 \end{eqnarray*}$

Wie auch schon erwähnt ist die 3. Zeile maßgebend:
$\begin{eqnarray*} x_3+2x_4=3 \end{eqnarray*}$
Ist diese Gleichung nun eindeutig lösbar?

05.07.2012, 08:48

Nullinger

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Nein, ich denke nicht. Es ist eine Gleichung mit 2 unbekannten, ich kann sie nur in abhängigkeit voneinander darstellen.

wenn man nach $\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ auflöst bekommt man $\begin{eqnarray*} 3-2x_4 \end{eqnarray*}$

löst man aber nach $\begin{eqnarray*} x_4 \end{eqnarray*}$ auf, bekommt man $\begin{eqnarray*} \frac {3-x_3}{2} \end{eqnarray*}$

Gruß

12.07.2012, 00:20

Nullinger

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aber die Frage war ja, für welchen reelen Parameter diese Matrix

mehrdeutig, eindeutig und unlösbar ist.

Habe morgen meine Prüfung und bin mir noch etwas unsicher...

13.07.2012, 02:41

frank09

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Ich fasse mal zusammen:
Du hast eine quadratische Matrix und einen Lösungsvektor. Durch Gauß-Umformungen ergeben sich für die letzte Zeile der erweiterten Matrix folgende Möglichkeiten(" * " steht für eine Zahl ungleich Null," .. "für eine beliebige Zahl ):

$\begin{eqnarray*} 000*|.. \rightarrow \end{eqnarray*}$ eindeutige Lösung
$\begin{eqnarray*} 0000|* \rightarrow \end{eqnarray*}$ keine Lösung
$\begin{eqnarray*} 0000|0 \rightarrow \end{eqnarray*}$ mehrdeutige Lösung (wenn es keine höhere vom Typ 0000|* gibt)

Beispiel
$\begin{eqnarray*} 0002|3 \rightarrow x_4=1,5 \end{eqnarray*}$ , eindeutig
$\begin{eqnarray*} 0000|4 \rightarrow 0(x_1+...+x_4)=4 \end{eqnarray*}$ , unlösbar
Wenn letze Zeile 0000|0, dann sieht die nächsthöhere, die nicht komplett Null ist, etwa so aus
$\begin{eqnarray*} 0023|5 \rightarrow 2x_3+3x_4=5 \end{eqnarray*}$ , es gibt mehrere Werte die ich einsetzen kann, z.B.
$\begin{eqnarray*} x_3=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_4=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_3=-0,5 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_4=2 \end{eqnarray*}$ , also mehrdeutig.

Für die besprochene Aufgabe ergibt sich
für a=0 $\begin{eqnarray*} 0000|15 \end{eqnarray*}$ , unlösbar
für a=5 $\begin{eqnarray*} 0000|0 \end{eqnarray*}$ , mehrdeutig, weil vorletzte $\begin{eqnarray*} 0012|3 \end{eqnarray*}$
sonst $\begin{eqnarray*} 000*|.. \end{eqnarray*}$ , also eindeutig

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