Volumen beliebiger triangulierter Körper

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yofu Auf diesen Beitrag antworten »
Volumen beliebiger triangulierter Körper
Hallo!

Ich muss für eine Studienarbeit eine Funktion implementieren, die aus gegebenen Dreiecksflächenkoordinaten das Volumen mit zumindest guter Näherung berechnet. Nun bin ich auf wikipedia bei http://de.wikipedia.org/wiki/Volumen auf die Formel
,
wobei n für die Anzahl der Dreiecke steht, A die Fläche, N die Normale und v für die Vektoren eines Dreiecks
gestoßen, die zwar schön einfach ist, die ich aber nirgends sonst finden kann. Beides macht mich stutzig. Für Quaderräume passt das Ergebnis zwar, aber ich habe keine Möglichkeit, es für komplexe Räume mit mindestens 500 Polygonen (Hörsäle, Konzerthäuser u.ä.)) nachzuprüfen.
Die Räume um die es geht, sind durch die Dreiecksfächen perfekt beschrieben, heißt: sie sind an jeder Kante geschlossen und die Dreiecke haben nirgends Überhang.
Kennt jemand die Formel, weiß jemand wo ich sie nachlesen kann oder hat jemand einen Gegenvorschlag? Ich bin für alles offen und wäre über Rat in dieser Angelegenheit sehr dankbar.

Grüße
yofu

edit: 1/3 vergessen
yofu Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn das hier das falsche Forum sein sollte, weist Ihr mich doch darauf hin, oder? Augenzwinkern
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Also vorweg: Mir ist diese Formel bisher nicht begegnet, aber ich kann mir in etwa vorstellen, wie die konstruiert wurde:

Man nimmt sich einen beliebigen, aber festen Bezugspunkt als Ursprung, die wind dann vermutlich als Ortsvektoren in Bezug auf diesen Ursprung gemeint. Dann betrachtet man die Tetraeder mit Grundfläche und Spitze Ursprung. Liegt der Ursprung innerhalb eines konvexen Polyeders, dann bilden alle diese Tetraeder zusammen gerade das Innere des Polyeders, d.h., das Polyedervolumen ist gleich der Summe der Tetraedervolumina. Der Normalenvektor muss wohl jeweils nach außen (bzgl. des Polyeders) gerichtet sein, damit das klappt.

Ist der Ursprung außerhalb des Polyeders macht das auch nix, dann geschieht das so ähnlich über Summen vorzeichenbehafteter Volumina... So erstmal meine saloppe Erklärung für diese Formel.
yofu Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für deine Antwort, A.D.!

ich glaube auch dass obige Formel von

kommt. G(rundfläche) liegt ja vor.
Der Part der mir nach wie vor gar nicht plausibel wird, ist die Summe der Skalarprodukte aus den Ortsvektoren der Dreiecke und ihren Normalen, die wohl am Ende 3h ergibt. Hat da jemand ne Idee, egal wie abstrus?

edit: Grammatik-Defizite
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Du meinst dieses Skalarprodukt ? Ja, bei dem habe ich auch gestutzt, es ist auch überkompliziert geschrieben:

Im Grunde genommen ist das nix weiter, als die Höhe dieser Pyramide, genauer: Der (vorzeichenbehaftete) Abstand der Dreiecks-Ebene (die von ) zum Ursprung. Man hätte genausogut jeden anderen Vektor aus dieser Ebene statt des Dreiecksschwerpunktes nehmen können, z.B. einfach

.

Aber dann verliert die Formel wohl ihre schöne Symmetrie. Big Laugh
yofu Auf diesen Beitrag antworten »

Gott

ja wahnsinn

auf diese äußerst sinnige Umformung wäre ich niemals gekommen.

danke!
 
 
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