Satz von Kronecker; Nullstellen

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19.06.2012, 12:54	Sibbe	Auf diesen Beitrag antworten »
Satz von Kronecker; Nullstellen Meine Frage: Hallo ich habe Probleme bei folgender Aufgabe und es wäre super wenn mir jemand helfen könnte Sei K=F2 und g Element K[t] Ihr liebstes irreduzibles Polynom vom Grad 4. Im Körper K[t]/gK[t] ist die Restklasse t eine Nullstelle von g. Finden Sie in diesem Körper vier verschiedene Nullstellen von g in der Form t^k,(k=1,...?) Meine Ideen: Also der erste Teil ist ja der Satz von Kronecker nur ein bisschen schöner beschrieben. Wir hatten in der Vorlesung für ein irr. Polynom von Grad 4 als Beispiel das Polynom: $\begin{eqnarray} f(t)= t^{4} - 15t^{3} + 24t^{2} - 45 \end{eqnarray}$ . Das wäre im F2 dann ja: $\begin{eqnarray} f(t)= t^{4} + t^{3} + 1 \end{eqnarray}$ Ich weiß jetzt leider nicht, wie ich daraus schließen soll, dass das auch für Vielfache von der Nullstelle gilt und welches eine Nullstelle wäre. Dazu muss ich, wenn ich das richtig weiß, den Körper so bilden, dass die Nullstelle existiert oder?
19.06.2012, 21:20	Captain Kirk	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, dein Erweiterungskörper, nennen wir ihn L, ist $\begin{eqnarray} \mathbb F_2/f \end{eqnarray}$ . Damit ist automatisch t (ich lass' den Äquivalenzbalken faulheitshalber weg) eine NST von f in L. Berechne dann $\begin{eqnarray} f(t^n) \end{eqnarray}$ modulo f.
19.06.2012, 22:19	Sibbe	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm okay, dass t meine Nullstelle ist war ja mit dem Kroneckersatz schon iwie klar, aber wie wende ich das jetzt auf meine Gleichung an. Da stehe ich noch irgendwie auf dem Schlauch, wie ich den Körper jetzt nutzen kann, damit ich Nullstellen habe.
19.06.2012, 22:32	Captain Kirk	Auf diesen Beitrag antworten »
Berechne doch mal f(t²) in L sprich f(t²) modulo f(t)
20.06.2012, 10:07	Sibbe	Auf diesen Beitrag antworten »
Also wir haben jetzt einfach t^2 für t eingestetzt und f(t^2) durch f(t) geteilt. Bei der Polynomdivision kam dann der Rest $\begin{eqnarray} -7t^{3} - t^{2} + 4t + 3 \end{eqnarray}$ raus , was denn im F2 $\begin{eqnarray} t^{3} + t^{2} + 1 \end{eqnarray}$ wäre. Und das ist dann unsere Nullstelle?! Und dann können wir das jetzt für t^4 und t^8 und t^16 zum Beispiel wieder machen und haben 4 Nullstellen?Oder bin ich immer noch falsch damit?
20.06.2012, 10:19	Captain Kirk	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Polynomdivision ist falsch. Da der Grundkörper $\begin{eqnarray} \mathbb F _2 \end{eqnarray}$ solltest du auch mit diesem Rechnen (das ist auch einfacher als in den rationalen Zahlen, da nur 0 und 1 als Koeffizienten in Frage kommen.) Wäre t³+t²+1 der Rest der Polynomdivision so wäre f(t²)=t³+t²+1 nicht 0 und damit t² keine NST. Wie gesagt ist dem aber nicht so. Um sich die Rechnerei einfacher zu machen könnte man auch Freshmen's Dream /Frobeniushom. verwenden.
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20.06.2012, 10:25	Sibbe	Auf diesen Beitrag antworten »
Den Frobeniushomomorphismus hatten wir leider noch nicht. Aber die grundsätzliche Idee mit der Polynomdivision und dem Rest ist doch richtig oder? Ich gucke mur das nochmal im F2 an
20.06.2012, 10:35	Captain Kirk	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja die Vorgehensweise mit der Polynomdivision ist richtig, du willst ja $\begin{eqnarray} f(t^n) \end{eqnarray}$ in der Standarddarstellung in L haben, und das ist halt ein Polynom in t vom Grad kleiner oder gleich 3. Ich krieg übrigens bei rationaler Polynomdivision auch einen ganz anderen Rest.
20.06.2012, 10:49	Sibbe	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmmm kannst du mir mal nur aufschreiben wie dein Term aussah und was der Rest ist? Ich habe irgendwie immer dasselbe raus oder etwas anderes , wo auch keine Nullstelle bei rauskommt...
20.06.2012, 11:04	Captain Kirk	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} f(t^2)=t^8+t^6+1\equiv t^7+t^4+t^6+1\equiv t^4+t^3+1\equiv 0 \mod f \end{eqnarray}$ Um Fehler in deiner Rechnung zu finden müsste ich aber deine Rechnung sehen.
20.06.2012, 11:10	Sibbe	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah ne das hatte ich mittlerweile auch raus aber ich hatte nen Denkfehler mit dem Modulo f ich hatte da dann noch F2 im Kopf und dann hat das mit Null natürlich nich hingehauen und ich habs wieder verworfen aber dann is das jetzt klar, dass es null ist. Wenn ich das jetzt für höhere exponenten betrachte, dann aber immer im modulo f oder? und nicht modulo f(t^2)
20.06.2012, 11:14	Captain Kirk	Auf diesen Beitrag antworten »
Natürlich modulo f=f(t). Du bist doch in L. K[t]/ ( f(t²) ) wäre auch kein Körper, da f(t²) reduzibel.
20.06.2012, 11:17	Sibbe	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja stimmt da habe ich nicht nachgedacht...also hab es jetzt noch für t^4 und da habe ich am ende dann wieder t^4+t^3+1 stehen ist das richtig? dann mache ich das nur nochmal und hab meine 4 NST
20.06.2012, 11:24	Captain Kirk	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja passt so. Am Schluß wäre noch sonnvoll zu zeigen, dass die 4 NST auch wirklich verschieden ist.
20.06.2012, 11:38	Sibbe	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay also für t^3 ist mein rest 1 ist das dann richtig, dass es für 1,2,4,8,16 funktioniert? Warum muss ich das noch zeigen? Ich setze doch immer etwas anderes für t ein. Ist das nicht schon verschieden?
20.06.2012, 11:47	Captain Kirk	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} t,t^2,t^4,t^8 \end{eqnarray}$ sind 4 verschiedene NST (dass die 2-Potenzen NSt sind sieht man wie gesagt über Frobenius). Nur weil was verschieden aussieht muss es nicht verschieden sein. So ist z.B. $\begin{eqnarray} t^{16}=t^2 \in L \end{eqnarray}$ (falls ich mich nicht verrechnet hab) (f hat ja auch höchstens 4 NST)
20.06.2012, 11:54	Sibbe	Auf diesen Beitrag antworten »
Warum ist t^16=t^2?
20.06.2012, 12:01	Captain Kirk	Auf diesen Beitrag antworten »
Weil $\begin{eqnarray} f\| t^{16}+t^2 \end{eqnarray}$ (Definition des Erweiterungskörpers L).
21.06.2012, 14:00	Sibbe	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für deine Hilfe jetzt hat alles geklappt

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