Skalarprodukt

19.06.2012, 15:55

T1g3r

Skalarprodukt

Hallo liebes Matheboard,

$\begin{eqnarray*} V_n \end{eqnarray*}$ ist der VR der Polynome vom Grad $\begin{eqnarray*} \leq n \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ .

Ich will zeigen, dass $\begin{eqnarray*} <A,B>=\int_{-1}^1 \! A(x)B(x) \, dx \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} A,B \in V \end{eqnarray*}$ ein Skalarprodukt ist.

Ich hab nur noch Probleme zu zeigen, dass:

1) $\begin{eqnarray*} <A,A>\geq 0 \end{eqnarray*}$
2) $\begin{eqnarray*} <A,A>=0 \Leftarrow \Rightarrow A=0 \end{eqnarray*}$

Meine Idee:

1) $\begin{eqnarray*} <A,A>=\int_{-1}^1 \! A(x)A(x) \, dx=\int_{-1}^1 \! (A(x))^2 \, dx \end{eqnarray*}$

Leider weiß ich nun nicht weiter.

Zu 2):

Die eine Richtung ist kein Problem:
$\begin{eqnarray*} "\Leftarrow": <0,0>=\int_{-1}^1 \! 0\times 0 \, dx=0 \end{eqnarray*}$

Die andere macht mir noch Schwierigkeiten.
$\begin{eqnarray*} "\Rightarrow": <A,A>=\int_{-1}^1 \! A(x)A(x) \, dx=0 \end{eqnarray*}$

Auch hier komme ich leider nicht weiter.

Ich danke euch schonmal, T1g3r

19.06.2012, 21:00

Captain Kirk

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Hallo,

zu 1) Ist $\begin{eqnarray*} f\geq g \end{eqnarray*}$ so ist $\begin{eqnarray*} \int f \geq \int g \end{eqnarray*}$ .
Suche ein geignetes g zu $\begin{eqnarray*} f= A^2 \end{eqnarray*}$

2)nimme $\begin{eqnarray*} A\neq 0 \end{eqnarray*}$ an und zwige <A,A> >0 , z,B, mit der Stetigkeit von Polynomen.

Noch ein paar $\begin{eqnarray*} \LaTeX \end{eqnarray*}$
Multiplikation mit \cdot . \times ist fürs Kreuzprodukt.
Genau dann, wenn mit \Leftrightarrow .

20.06.2012, 12:51

T1g3r

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Hallo Captain Kirk,

Danke für deine Antwort.

1) $\begin{eqnarray*} f=A^2=A\cdot A\geq 0=g \Rightarrow \int_{-1}^1 \! f(x) \, dx \geq \int_{-1}^1 \! g(x) \, dx=0 \end{eqnarray*}$

2) Da hänge ich leider immer noch.

$\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ stetig $\begin{eqnarray*} \Rightarrow A \cdot A \end{eqnarray*}$ stetig.

Ist das Integral einer stetigen Funktion immer $\begin{eqnarray*} >0 \end{eqnarray*}$ ?

Klingt jetzt vielleicht blöd, daber ich erinnere mich noch an z.B. dieses Integral aus der Schule:

Ist das Integral dieser Funktion nicht 0, wenn ich keine Intervalle bilde?

Oder ist es festgesetzt, dass ein Integral nur 0 ist, wenn die Funktion auch die Nullfunktion ist?

Gruß

20.06.2012, 13:00

Captain Kirk

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Zitat:

Ist das Integral einer stetigen Funktion immer $\begin{eqnarray*} >0 \end{eqnarray*}$ ?

Nein.
$\begin{eqnarray*} Oder ist es festgesetzt, dass ein Integral nur 0 ist, wenn die Funktion auch die Nullfunktion ist? \end{eqnarray*}$
Nein.

Alerdings ist das Integral über eine nicht-negative, stetige Funktion f ungleich 0 positiv.
Nimm einen Punkt x mit

Zitat:

f(x) \neq 0

. Betrachte eine geeignete Umgebung von x um das Integral von f nach unten durch eine positive Zahl abzuschätzen.

20.06.2012, 19:37

T1g3r

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Hallo,

Also besteht ein Unterschied, ob ich das Integral in einem Intervall I, oder aber die Fläche, die die Kurve und die x-Achse in I einschließen, brechnen will.

Zur Aufgabe:

Ich betrachte den Punkt $\begin{eqnarray*} x_0: f(x_0)\neq 0 \end{eqnarray*}$ . Dann existiert ein $\begin{eqnarray*} \epsilon>0: f(x_0-\epsilon)\leq f(x_0)\leq f(x_0+\epsilon) \end{eqnarray*}$ (aufgrund der Stetigkeit der Funktion).

Wenn ich sagen kann, dass $\begin{eqnarray*} f=A\cdot A\geq0 \end{eqnarray*}$ (?), dann:
$\begin{eqnarray*} \int_{x_0-\epsilon}^{x_0+\epsilon} \! f(x) \, dx\geq \int_{x_0-\epsilon}^{x_0+\epsilon} \! g(x) \, dx=2\epsilon\cdot f(x_0-\epsilon)>0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} g(x)=f(x_0-\epsilon) \end{eqnarray*}$

Analog müsste es für $\begin{eqnarray*} \epsilon <0 \end{eqnarray*}$ gehen.

Gruß, T1g3r

20.06.2012, 20:08

Captain Kirk

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Zitat:

Also besteht ein Unterschied, ob ich das Integral in einem Intervall I, oder aber die Fläche, die die Kurve und die x-Achse in I einschließen, brechnen will.

Ja und es würde mich sehr überraschen wenn ich der Erste wäre der dir das sagt.

Zitat:

Wenn ich sagen kann, dass $\begin{eqnarray*} f=A\cdot A\geq0 \end{eqnarray*}$ (?), dann:

Das Quadrat einer reellen Zahl ist nicht-negativ, also ja. Und das hatten wir schon bei 1)

Zitat:

Dann existiert ein $\begin{eqnarray*} \epsilon>0: f(x_0-\epsilon)\leq f(x_0)\leq f(x_0+\epsilon) \end{eqnarray*}$ (aufgrund der Stetigkeit der Funktion).

Das ist falsch. Was ist wenn f in dem Intervall streng monoton fallend ist?
(Deine Behauptung sagt im Wesentlichen, dass es ein Intervall gibt in dem f nicht-fallend ist. Für f=-x z.B. ist das nicht der Fall.)

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \int_{x_0-\epsilon}^{x_0+\epsilon} \! f(x) \, dx\geq \int_{x_0-\epsilon}^{x_0+\epsilon} \! g(x) \, dx=2\epsilon\cdot f(x_0-\epsilon)>0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} g(x)=f(x_0-\epsilon) \end{eqnarray*}$

Warum gilt das >0. Oder anders formuliert: Warum ist g(x)>0?

Zitat:

Analog müsste es für $\begin{eqnarray*} \epsilon <0 \end{eqnarray*}$ gehen.

Du bist dir wohl nicht bewußt, dass du hier den kürzesten Mathematikerwitz erzählt hast.
Epsilon steht für einen Abstand. Was soll bitte en negativer Abstand sein?

20.06.2012, 20:20

T1g3r

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Zitat:

Zitat: $\begin{eqnarray*} \int_{x_0-\epsilon}^{x_0+\epsilon} \! f(x) \, dx\geq \int_{x_0-\epsilon}^{x_0+\epsilon} \! g(x) \, dx=2\epsilon\cdot f(x_0-\epsilon)>0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} g(x)=f(x_0-\epsilon) \end{eqnarray*}$ Warum gilt das >0. Oder anders formuliert: Warum ist g(x)>0?

$\begin{eqnarray*} g(x)=f(x_0-\epsilon)>0 \end{eqnarray*}$ , da das $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ so klein gewählt wird, dass eben $\begin{eqnarray*} f(x_0-\epsilon)>0 \end{eqnarray*}$ gilt.

Zitat:

Analog müsste es für $\begin{eqnarray*} \epsilon <0 \end{eqnarray*}$ gehen. Big Laugh Big Laugh Big Laugh Du bist dir wohl nicht bewußt, dass du hier den kürzesten Mathematikerwitz erzählt hast. Epsilon steht für einen Abstand. Was soll bitte en negativer Abstand sein? [

Freut mich, dass ich dich erheitern konnte Big Laugh

Was ich damit eigendlich sagen wollte:

Wenn: $\begin{eqnarray*} \epsilon>0: f(x_0-\epsilon)\geq f(x_0)\geq f(x_0+\epsilon) \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} g(x)=f(x_0+\epsilon) \end{eqnarray*}$ .

20.06.2012, 20:32

Captain Kirk

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So ist es in Ordnung.

20.06.2012, 20:35

T1g3r

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Super, Ich danke dir für deine wirklich sehr gute Hilfe smile

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