Ägyptisches Mulltiplizieren

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19.06.2012, 20:33	bird of the summer	Auf diesen Beitrag antworten »
Ägyptisches Mulltiplizieren Hallo, ich soll die ägyptische Multiplikation durchführen, wie in folgendem Beispiel: 72801 /1 2801 /2 5602 /4 11204 ----------------------- 7 19607 Nun soll ich angeben, welche Rechegesetze man dabei anwendet. Man zerlegt ja die Zahlen und nutzt die Zweier- und Zehnerpotenzen dafür. Aber welche Rechengesetze da nun ganz genau angewendet werden, kann ich mir nicht so wirklich herleiten. Könnt ihr mir dazu einen Tipp geben?? Bei der zweiten Aufgabe soll ich mathematisch formal begründen, warum die ägyptische Multiplikation stets für natürliche Zahlen a und b ausführbar ist. Dazu soll a in der Potenzschreibweise dargestellt, mit b multipliziert und die resultierenden Summanden betrachtet werden. Dazu habe ich mir überlegt, dass ich ja a ein mal zur Basis 2 und zur Basis 10 brauche?! In der Potzenzschreibweise würde das zur Basis 2 ja lauten: $\begin{eqnarray} \forall a,b,n,i \in \mathbb N: (\sum\limits_{i=0}^n ai2)b \end{eqnarray*}$ (Anmerkung: Das i hinter dem a soll so eine kleine Indexzahl sein. Ich weiß nicht, wie man die schreibt.) Kann ich das als Ansatz nehmen?? Wenn ja, wie mache ich dann weiter? Und wie bringe ich die Sache mit der Basis 10 mit rein? Für ein paar Tipps wäre ich sehr dankbar. LG
20.06.2012, 07:30	bird of the summer	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh, es muss $\begin{eqnarray} \forall a,b,n,i \in \mathbb N: (\sum\limits_{i=0}^n ai2^i)b \end{eqnarray}$ heißen, glaube ich. Sonst habe ich ja keine Zweierpotenzen...
20.06.2012, 12:52	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} a\cdot b= (\sum\limits_{i=0}^n a_i\cdot 2^i)\cdot b \quad a_i \in \{0,1\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a\cdot b= \sum\limits_{i=0}^n a_i\cdot 2^i \cdot b \quad a_i \in \{0,1\} \end{eqnarray}$ und schon steht das Gewünschte da. Hat nur den Nachteil wenn 57409x76234 gesucht ist. -> zuerst die kleinere Zahl mittels Divisionsrestalgorithmus binär umwandeln... Dann doch lieber klassisch. Auch hier gibt es Vereinfachungen, z.B. negative Ziffern aus $\begin{eqnarray} 79 \end{eqnarray}$ wird $\begin{eqnarray} 8\overline 1 \end{eqnarray}$ oder gar $\begin{eqnarray} 1\overline 2\overline1 \end{eqnarray}$ und so bleibt man im 5x5 Einmaleins...
20.06.2012, 19:32	bird of the summer	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie zeige ich denn jetzt, dass man für alle natürlichen Zahlen a und b die ägyptische Multiplikation durchführen kann? Induktion?? Ich soll ja einen Beweis durchführen. Darf ich bei dem nur mit a=1 und mit a=0 rechnen? Wenn ja wieso? Ich weiß zwar, dass ich mich im Binärsystem befinde, aber in der Beispielaufgabe an der wir unsere Lösung rechnen wir ja auch im Dezimalsystem. Du hast bei ja einfach nur die Klammern um das Summenzeichen weggelassen. Warum ist das schon das Gewünschte? Was will ich denn überhaupt rausbekommen? Was ist denn der Restklassenalgorithmus? Brauche ich den für den Beweis? Kannst du das noch mal für jemanden erklären, der das alles überhaupt nicht versteht? LG
20.06.2012, 20:15	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
1.) einen Faktor darf man in die Summe distibutiv "reinnehmen". 2.) jede natürliche Zahl hat eine eindeutige binäre Darstellung. oder willst du das erstmal beweisen?
20.06.2012, 20:39	bird of the summer	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich glaube ich soll beweisen, dass $\begin{eqnarray} (\sum\limits_{i=0}^n a_i\cdot 2^i)\cdot b \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} a,b \in \mathbb N \end{eqnarray}$ gilt. Ich weiß aber nicht wie ich das anstellen soll. Dafür muss ich doch irgendeine Gleichung haben, oder nicht??
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20.06.2012, 21:37	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
im Prinzip sollst du also beweisen, das jede natürliche Zahl eine binäre Darstellung besitzt. Ich weiss nur, dass jede natürliche Zahl eine eindeutige Darstellung in jeder Basis besitzt. Dieser Beweis scheint mir aber ganz und garnichts mit dem Ausgangsproblem zu tun zu haben. Indirekt schon, aber in einer anderen Liga. Den Beweis muss ich dir schuldig bleiben.
20.06.2012, 21:56	bird of the summer	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, trotzdem vielen Dank. Ich habe jetzt einfach gezeigt, dass man eine natürliche Zahl stets in 2er- oder 10er- oder in 2er- und 10er-Potenzen zerlegen kann. Und dann habe ich gezeigt was passiert, wenn man eine solche Zahl mit einer anderen Zahl aus den natürlichen Zahlen multipliziert. Ich weiß nicht, ob das Sinn macht, aber immerhin habe ich etwas, das ich abgeben kann. Also danke und dir noch einen schönen Abend.
20.06.2012, 22:05	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
na ja, die 10- ner Potenzdarstellung ist ja alltäglich. Dass man bei der (Ägyptischen ) Multiplikation einen Faktor in Potenzen von 2 zerlegt , ist eine nette Spielerei. Vielleicht auf dem Fellachenbot usus

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