Für welche alpha kann Vektor d eindeutig als Linearkombination von a, b, c dargestellt werden?

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20.06.2012, 14:20	christoffel	Auf diesen Beitrag antworten »
Für welche alpha kann Vektor d eindeutig als Linearkombination von a, b, c dargestellt werden? Meine Frage: Hallo Leute! a(1, 2, alpha); b(-1, alpha, 1); c(alpha, 2alpha, 1) Hier die gestellte Aufgabe: Es sein nun ein völlig beliebiger Vektor d gegeben. Für welche alpha kann dieser eindeutig als Linearkombination von a, b, c dargestellt werden? Meine Ideen: Habe natürlich ein LGS aufgestellt: (alpha = a) Die Strichkommas dienen zur Trennung im LGS 1; -1; a \| x 2; a; 2a \| y a; 1; 1 \| z Durch das Gausverfahren bin ich am ende auf diesen riesigen Ausdruck gekommen: 1; -1; a \| x 0; 2+a; 0 \| y -2x 0; 0; -a³-2a²+a+2 \| 2z+az-a²x-y-ay+2x Ich bin jetzt irgendwie perplex wie ich mit so einem riesigen Ausdruck weiterkommen soll? Kann vllt einer helfen?
20.06.2012, 15:30	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
die dritte Spalte x,y,z kannst du weglassen. Die Matrix muss dann nur den Rang 3 haben, oder so formuliert: Es darf keine Zeilen mit Nullen auftreten. Das ist die Bedingung für $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ Oder komplementär: bestimme die Menge für $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ bei der eine Nullzeile auftritt. die Komplementmenge ist dann die Lösung.
20.06.2012, 16:08	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
das ist glaube ich, die 4.spalte
20.06.2012, 16:45	Chris121089	Auf diesen Beitrag antworten »
wieso darf ich jetzt x,y,z weglassen...also auch die x,y,z abhängig von alpha einfach wegstreichen?
20.06.2012, 17:10	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
es genügt, wenn die Erzeugendenvektoren linear unabhängig sind. Jeder Vektor im Raum lässt sich dann als Linearkombination darstellen. Hochschule? edit: ja,klar 4.Spalte!
20.06.2012, 18:12	Chris121089	Auf diesen Beitrag antworten »
Heißt also? Ja, Hochschule. Spielt das eine Rolle?
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20.06.2012, 18:22	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
bestimme z.b. mit hilfe der determinante die "bösen" $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$
20.06.2012, 18:27	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
riwe meint, zum Test kann man auch Det(A)= 0 heranziehen. Wenn wahr, dann sind die Vektoren lin. abhängig. Brauchst du noch mehr Hilfe?
20.06.2012, 23:22	Chris121089	Auf diesen Beitrag antworten »
1; -1; a \| x 0; 2+a; 0 \| y -2x 0; 0; -a³-2a²+a+2 \| 2+a-a²-1-a+2 Also kann ich das jetzt so betrachten?
21.06.2012, 00:01	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Für welche alpha kann Vektor d eindeutig als Linearkombination von a, b, c dargestellt werden? Determinantenmässig so betrachtet: $\begin{eqnarray} Det (A)= \begin{vmatrix} 1 & -1 & \alpha \\<br /> 2 & \alpha & 2\alpha \\ <br /> \alpha & 1 & 1 \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ was ist mit der Lösungsmenge Det(A)=0 und deren Kompliment. Es gibt, wie gesagt keine x,y,z!!! ---------------------- und wieso Hochschule?
21.06.2012, 12:29	Chris121089	Auf diesen Beitrag antworten »
Da Matrizen erst im 2ten Semester auftauchen, denke ich möchte er das anders gelöst haben.
21.06.2012, 12:40	Chris121089	Auf diesen Beitrag antworten »
Damit ihr nicht denkt ich sei völlig verblödet. Also! Vor der hier genannten Aufgabenstellungen habe ich durch das Spatprodukt die alphas ermittel für die die drei Vektoren a, b und c eine Basis des IR³ bilden. Somit kann ich sagen das für die jenigen alphas für die ein Volumen "aufgespannt" ist die 3 Vektoren voneinandern linear unabhängig sind. Nun suche ich jetzt die alphas für die ein beliebiger Vektor (hier d) eine Linearkombination aus den Vekotren a, b und c ist. Also müssen die alphas so gewählt sein das die Vektoren a, b und c linear abhängig sind da Vektor d als Linearkombination der drei mit allen in einer Ebene liegen musst bzw meinetwegen auf einer Geraden. Ist meine Anhame richtig?
21.06.2012, 13:21	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
a.) Zuerst kommt die lineare Abhängigkeit der Vektoren $\begin{eqnarray} \vec a, \vec b ,\vec c \end{eqnarray}$ in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ b.) Die Aufgabe irgendeinen Vektor z.B. $\begin{eqnarray} \vec d \end{eqnarray}$ als Linearkombination darzustellen. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- zu a.) ist dir gelungen, die Lösungsmenge sei nun bekannt. Folgendes $\begin{eqnarray} \alpha_0 \end{eqnarray}$ gehöre dazu. b.) es bleibt , das LGS zu lösen. $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & -1 & \alpha_0 \\<br /> 2 & \alpha_0 & 2\alpha_0 \\ <br /> \alpha_0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} k_1 \\ k_2 \\ k_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} d_1 \\ d_2 \\ d_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ die k's sind die Koordinaten von $\begin{eqnarray} \vec d \end{eqnarray}$ bezüglich der Basis $\begin{eqnarray} \vec a, \vec b ,\vec c \end{eqnarray}$ das funktioniert immer. Wenn du aber $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ so wählst, dass $\begin{eqnarray} \vec a, \vec b ,\vec c \end{eqnarray}$ linear abhängig sind, dann könnte $\begin{eqnarray} \vec d \end{eqnarray}$ nur dargestellt werden, wenn $\begin{eqnarray} \vec d \end{eqnarray}$ in der von $\begin{eqnarray} \vec a, \vec b ,\vec c \end{eqnarray}$ aufgespannten Ebene "liegen" würde. Demnach ist deine Annahme nur in diesen Sonderfällen richtig, aber nicht in voller Allgemeinheit.
21.06.2012, 14:01	Chris121089	Auf diesen Beitrag antworten »
bei mir kommt raus für alle alpha \{-2,-1,1} bilden die drei Vektoren eine Basis der IR³. Jetzt muss ich ja den vektor d der basis der vekotren a,b, c "unterwerfen". Ich will jetzt nicht wissen wie d aussieht. Ich löse das LGS halt so auf erstmal: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & -1 & \alpha \\ 2 & \alpha & 2\alpha \\ \alpha & 1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ --> $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & -1 & \alpha \\ 0 & \alpha +2 & 0 \\ 0 & 0 & -\alpha^3 -2\alpha^2 +\alpha +2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Bin ich richtig soweit? (Ist eigentlich das selbe Prinzip wie bei Überprüfung der linearen Unabhängigkeit) Weil jetzt kann ich sagen für den unteren ausdruck (Az) Az ungleich 0 dann wäre das ja für alle alpha ungleich {-2,-1,1} und das LGS wäre eindeutig lösbar??? Somit könnte ich den Vektor d als Linearkombination bestimmt....wenn ich davon ausgehe das Vektor d kein Nullvektor ist?!
21.06.2012, 14:41	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles richtig! nur doppelt gemoppelt. Wenn der Rang 3 ist $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow \alpha \notin \{-2,-1,1\} \end{eqnarray}$ ,dann brauchst du nicht nochmals dasselbe rechnen, auch dann nicht, wenn du die Menge $\begin{eqnarray} \{-2,-1,1\} \end{eqnarray}$ über das Spatprodukt berechnet hast.
21.06.2012, 14:47	Chris121089	Auf diesen Beitrag antworten »
also kann ich sagen für alle $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ IR \{-2,-1,1} ist eine Linearkombination der Vekotren a,b, c möglich mit der man d darstellne kann....da die ja alle linear unabängig sind und ein volumen aufspannen kann ich innerhalb des Volumens d ja darstellen und das im IR³...gerade ja weil Sie lin. unabhängig sind? Richtig?
21.06.2012, 15:43	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
genau so richtig!

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Für welche alpha kann Vektor d eindeutig als Linearkombination von a, b, c dargestellt werden?

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