Interpolation

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Sebi1 Auf diesen Beitrag antworten »
Interpolation
Es sei
Zeige:

a) falls , so besitzt u höchstens 2 reelle Nullstellen
b) Zu je drei Stützpunkten mit existiert genau eine interpolierende Funktion in U.


a) Ableitung betrachten ==> nur 1 Extremum ==> höchstens 2 reelle Nullstellen

b) Ich vermute mal, hierzu benötigt man a) (warum sonst die Teilfaufgabe). Aber wozu? Man stellt ein LGS auf:



Die sind paarweise verschieden, also ist die Matrix doch regulär.
Oder macht man das so:
Das homogene Problem besitzt nur die Lösung 0, weil alle u(x) maximal 2 reelle Nullstellen besitzen ==> Eindeutigkeit.
Aber warum braucht man das? Es reicht doch aus, dass die Matrix regulär ist...?
yeti777 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Interpolation
Hallo Sebi!

Ich denke, deine Frage hat etwas mit den HAAR'schen Räumen zu tun.

ist ein Vektorraum der Dimension . Die Funktionen bilden eine Basis von . Es sind 3 Stützpunkte gegeben. Wenn du zeigen kannst, dass jedes höchstens Nullstellen hat, dann erfüllt die HAAR'sche Bedingung und daraus folgt, dass die Determinante der VANDERMONDE-Matrix ungleich Null ist (Satz!).

Gruss yeti

Dass die VANDERMONDE-Matrix regulär ist, ist zu zeigen!
Samsoni Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

ich bin auch fleisig am Lernen und mische mich daher mal ein:

Ich hätte das nämlich so gemacht:

Angenommen, es existieren zwei Funktionen, welche die Bedingungen erfüllen - etwa . Dann betrachte . Offenbar ist auch . Außerdem besitzt die Nullstellen . Dann muß aber sein, und damit auch , womit die Eindeutigkeit gezeigt wäre. Die Existenz folgt aus dem Lin. Gleichungssystem, das wie eben gezeigt, für das homogene Problem eindeutig lösbar ist.

Ist das so richtig? (Von Haar'schen Räumen haben wir zumindest nämlich noch nichts gehört...)
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