f,g genau dann orthogonal wenn |f+sg|>=|f|

21.06.2012, 21:25

SilverShadow

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f,g genau dann orthogonal wenn |f+sg|>=|f|

Hallo!

Wink

Bräuchte Rat bei der Aufgabe:

Also die Aufgabenstellung habe ich soweit verstanden; das "genau dann" schreit doch geradezu nach einem Beweis mit 2 Richtungen: "=>" und "<=".

Für => kann ich jetzt annehmen, dass (f.g)=0 ist. Allerdings habe ich jetzt keinen Ansatz, wie ich das ganze zu einer Ungleichung führen kann bzw. wie ich das umgekehrt von "<=" wieder in (f.g)=0 verwandle.

Wäre für einen Tipp sehr dankbar! smile

smile

Vielen Dank schonmal smile

smile

21.06.2012, 21:43

Cordovan

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Wie kann ich denn eine Norm auf das Skalarprodukt zurückführen, von dem sie erzeugt wird?

21.06.2012, 22:06

SilverShadow

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Von der induzierten Norm, also

$\begin{eqnarray*} ||x|| := \sqrt{(x.x)} \end{eqnarray*}$ .

Eventuell kann man da die CSU verwenden?

$\begin{eqnarray*} |(x.y)| \leq ||x|| * ||y|| \end{eqnarray*}$

21.06.2012, 23:06

Cordovan

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Dann versuch doch jetzt mal, die Richtung zu zeigen, mit der du schon angefangen hast. Was ist denn dann $\begin{eqnarray*} \|f+sg\|^2 \end{eqnarray*}$ , wenn man mal das Skalarprodukt nimmt, um die Norm darzustellen?

21.06.2012, 23:35

Bernhard1

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Zitat:

Original von SilverShadowWäre für einen Tipp sehr dankbar! smile

smile

Hallo SilverShadow,

Du könntest für den Anfang einfach ein Beispiel untersuchen. Nimm z.B. als R-Vektorraum den R^2. Dann sind f und g zweidimensionale Vektoren und s ist eine reelle Zahl. Damit kannst Du Dir die Ungleichung geometrisch veranschaulichen. Das gibt dann eine gewisse Sicherheit und Motivation den Beweis aufzuschreiben.

22.06.2012, 10:36

SilverShadow

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Also für $\begin{eqnarray*} s\in R \end{eqnarray*}$ wäre das

$\begin{eqnarray*} \sqrt{(f+sg).(f+sg)} ^2 = \sqrt{f^2+2fsg+s^2g^2} ^2 \end{eqnarray*}$

Dann dürfte ich doch die Wurzel auch weglassen? Warum eigentlich das Quadrat?
Das s kann man ja leider nicht aus der Norm rausziehen denke ich.

-----

Habs mal für den R2 gemacht, ja das ergibt Sinn; jetzt kann mans sich besser vorstellen smile

smile

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22.06.2012, 11:41

Bernhard1

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"Preisfrage": Wie groß ist 2fsg gemäß Voraussetzung?

22.06.2012, 13:44

SilverShadow

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Stimmt, natürlich 0..

Also hätte ich nur noch $\begin{eqnarray*} \sqrt{f^2+s^2g^2} =(?)f+sg \end{eqnarray*}$

Da mein s & g ja durchs quadrieren positiv sein muss, gilt nun logischerweise $\begin{eqnarray*} f+sg \geq ||f|| \end{eqnarray*}$ oder nicht?

22.06.2012, 20:18

Bernhard1

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Zitat:

Original von SilverShadow
$\begin{eqnarray*} \sqrt{f^2+s^2g^2} =(?)f+sg \end{eqnarray*}$

Autsch...

Nein, hier lohnt eher ein Blick auf das, was man eigentlich beweisen will:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{f^2+s^2g^2} \geq \sqrt{f^2} \; (?) \end{eqnarray*}$

Haben wir damit die eine Richtung nicht schon bewiesen? (Tip: Welche Eigenschaft hat denn $\begin{eqnarray*} s^2g^2 \end{eqnarray*}$ ?)

22.06.2012, 20:28

SilverShadow

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Ich dachte es mir schon fast, typischer Deppenfehler; habs jetzt auch gesehen Big Laugh

Big Laugh

ja $\begin{eqnarray*} s^2g^2 \end{eqnarray*}$ ist immer positiv oder gleich 0, und damit addiert man dann zu $\begin{eqnarray*} f^2 \end{eqnarray*}$ immer etwas nicht negatives, womit die Ungleichung bewiesen wäre.

Für die andere Richtung müsste ich jetzt irgendwie auf (f.g)=0 kommen, dazu kann man die Ungleichung denke ich wie vorhin wieder mit Skalarprodukt umformen.
Die Ungleichung wird nur gelten, wenn (f.g)=0 ist.
Aber irgendwie sehe ich das gerade nicht.

22.06.2012, 20:50

Bernhard1

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Zitat:

Original von SilverShadow
Ich dachte es mir schon fast, typischer Deppenfehler; habs jetzt auch gesehen Big Laugh

Big Laugh

Freude

Zitat:

Aber irgendwie sehe ich das gerade nicht.

Man sollte hier die Formalitäten nicht zu sehr vergessen, d.h.:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{f^2 + 2sfg + s^2g^2}\geq \sqrt{f^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow f^2 + 2sfg + s^2g^2\geq f^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow 2s(f,g) + s^2g^2\geq 0 \end{eqnarray*}$

Für g=0 folgt trivial (f,g)=0. Die anderen Fälle für f und g (für die es ja voerst keine Einschränkungen gibt) muss man sich dann noch genauer ansehen.

22.06.2012, 20:57

SilverShadow

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$\begin{eqnarray*} \forall g \in R \end{eqnarray*}$ ? Es gilt doch $\begin{eqnarray*} g \in V \end{eqnarray*}$ ?

22.06.2012, 20:59

Bernhard1

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Habe das Skript-R als LaTeX-Symbol nicht gefunden. Sorry.

22.06.2012, 21:23

Bernhard1

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Zitat:

Original von Telefonmann1
Skript-R

Schmarrn! V natürlich.

Die Rückrichtung ist rein formal deutlich schwieriger. Ich weiß momentan gar nicht, ob ich das selbst hinbekomme Hammer

Hammer

.

22.06.2012, 21:42

SilverShadow

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Welche Rückrichtung meinst du?

"=>" haben wir schon gezeigt, es fehlt also nur noch "<="

$\begin{eqnarray*} s^2g^2 \end{eqnarray*}$ ist ja immer nichtnegativ, d. h. es geht Konform mit der Ungleichung (weil der Term addiert wird). Wenn s allerdings negativ gewählt wird (und das ist ja möglich) muss für $\begin{eqnarray*} |2s(f.g)| > s^2g^2 \end{eqnarray*}$ (f.g)=0 ergeben, weil die Ungleichung sonst nicht erfüllt wäre.
Und da wir ja für alle $\begin{eqnarray*} s\in R ; f,g \in V \end{eqnarray*}$ diese Eigenschaft fordern, muss (f.g)=0 gelten.

22.06.2012, 22:52

Bernhard1

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Zitat:

Original von SilverShadow
Welche Rückrichtung meinst du?

Mit Rückrichtung meinte ich "<=".

Ich habe jetzt noch einen etwas eleganteren Beweis für diese Richtung gefunden:

mit p:= (f.g) ist die Funktion 2s(f.g) + s²g² eine nach oben offene Parabel mit den Nullstellen 0 und -2p/g². Weil die Parabel nach oben offen ist, sind die Funktionswerte der Parabel zwischen den zwei Nullstellen negativ, was die Ungleichung verletzen würde. Damit die Ungleichung trotzdem gilt, muss der Bereich zwischen den zwei Nullstellen gleich Null sein und das geht nur mit p=(f.g)=0. q.e.d

Der entscheidende Hinweis war $\begin{eqnarray*} \forall s \in \boldmath{R} \end{eqnarray*}$ smile

smile

.

22.06.2012, 22:57

SilverShadow

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Stimmt, das ist wirklich elegant Freude

Freude

Trotzdem eine kurze Frage: Wäre meine Lösung auch richtig gewesen?

22.06.2012, 23:28

Bernhard1

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Zitat:

Original von SilverShadow
Wäre meine Lösung auch richtig gewesen?

Nicht ganz, weil für s=-1, (f,g)=-2 und g²=1 ein Gegenbeispiel existiert. D.h. die von Dir angegebene Bedingung ist zwar erfüllt, aber es folgt daraus nicht (f.g)=0. Du bist vermutlich implizit davon ausgegangen, dass das Skalarprodukt immer negativ ist. Das ist im Allgemeinen aber nicht der Fall.
Gruß

22.06.2012, 23:36

SilverShadow

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Genau anders rum, ich habe nicht miteinbezogen, dass (f.g) negativ sein kann Big Laugh

Big Laugh

Aber so haben wirs ja jetzt auch.
Dann bedanke ich mich sehr herzlich für die tolle Hilfe! Freude

Freude

22.06.2012, 23:46

Bernhard1

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Zitat:

Original von SilverShadow
Dann bedanke ich mich sehr herzlich für die tolle Hilfe! Freude

Freude

Gerne geschehen Tanzen

Tanzen

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