Abstand Punkt-Fläche

22.06.2012, 12:34	Blaaaaa	Auf diesen Beitrag antworten »
Abstand Punkt-Fläche Hey, Ich habe hier eine Aufgabe, wo ich den Abstand zwischen einer Fläche und einem Punkt berechnen soll. Mir ist es leider nur bekannt, wie ich es zwischen einer Ebene und einem Punkt mache aber mit dieser gegeben Fläche kann ich nicht wirklich viel anfangen. Könnte mir da mal jemand kurz erklären wie das geht?! Danke
22.06.2012, 15:52	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Abstand eines Punktes $\begin{eqnarray} (x,y,z) \end{eqnarray}$ vom Punkt $\begin{eqnarray} (1,-2,0) \end{eqnarray}$ ist die Länge des Verbindungsvektors, also $\begin{eqnarray} \sqrt{(x-1)^2 + (y+2)^2 + z^2} \end{eqnarray}$ . Setzt du für $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ den Funktionsterm, der deine Fläche bestimmt, ein, erhältst du eine Funktion $\begin{eqnarray} f(x,y) \end{eqnarray}$ zweier Variablen, deren Minimum du bestimmen mußt. Eine Spur einfacher wird es, wenn du das Quadrat der Länge nimmst. Dieses wird an derselben Stelle minimal wie die Länge selbst, da das Quadrieren positiver Zahlen eine streng monoton wachsende Funktion darstellt.
26.06.2012, 17:49	Blaaaa	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry aber wirklich verstehen tue ich das noch nicht. Im Verbindungsvektor hast du ja scheinbar schon die Punkte X und Y eingesetzt oder wie? Jetzt könnte ich für z noch die Werte von der Aufgabenstellung einsetzen und hoch 2 rechnen aber was hab ich dann? Eine komische Formel die mir nicht wirklich was bringt?!
26.06.2012, 18:23	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Quadrat des Abstandes ist: $\begin{eqnarray} D(x,y)=2x^2-4xy-2x+5y^2+4y+6 \end{eqnarray}$ warum ist diese Funktion komisch, und warum könnte man davon nicht ein relatives Minimum bestimmen? Ich jedenfalls habe eines gefunden.
29.06.2012, 09:23	Blaaaaa	Auf diesen Beitrag antworten »
Könntest du vllt. mal bitte ganz genau erklären, wie du auf diese Formel gekommen bist? Also auf D(x,y)?
29.06.2012, 10:23	Blaaaaa	Auf diesen Beitrag antworten »
Also die Funktion ergibt nun doch sinn aber die Partielle Ableitung klappt das nicht wirklich (um das minimum zu bestimmen). Wir haben 2. Dinge probiert: 1. Minimum von Abstand² berechnen. Unser Nullpunkt lautet dann (5/6, 1/3) und wir haben diesen in fx eingesetzt, um den Hoch- Tiefpunkt zu bestimmen. Das Ergebnis war allerdings 0?! 2. Kein Abstand² sondern nur Abstand. Die partiellen Ableitungen 2. Ordnung ergeben: fxx = - 1/32 fxy = 1/32j fyx = fxy fyy = -7,9 * 10^-3 Determinante = \| fxx fxy \| \| fyx fyy \| < 0 => Womit kein Hoch- Tiefpunkt vorliegt.
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29.06.2012, 11:05	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Schon nach gesundem Menschenverstand muss es ein Minimmum geben. Wenn du keins findest, musst du dich offenbar verrechnet haben. Falls du mit Nullpunkt den Kandidatenpunkt für ein lokales Extremum meinst, der ist bei dir falsch. Falls du mit der Angabe von Dopap gerechnet hast, die ist auch falsch. Edit: Sorry, hatte z falsch abgeschrieben. Die Angabe von Dopap ist richtig.

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