von Gleichung zur Parameterdarstellung

23.06.2012, 20:17

weizenhuhn

von Gleichung zur Parameterdarstellung

Hallo!

Ich sitze grad bei einem vorgerechneten Bsp. das ich einfach nicht verstehe.
Und zwar lautet die Aufgabe:

"Ermittle Vektoeren, die auf die Gerade

$\begin{eqnarray*} g:\quad 2{ x }_{ 1 }-5{ x }_{ 2 }\quad =\quad 3 \end{eqnarray*}$

normal stehen!"

Gelöst wurde dieses Bsp. dann folgendermaßen:

(EDIT: Ich habe Brüche genommen, da ich nicht weiß wie man eine Matrix in Latex erstellt.)

" Wir stellen die Gerade g in Parameterform dar:

$\begin{eqnarray*} g:\quad X\quad =\quad (\frac { -1 }{ -1 } )\quad +\quad t\quad (\frac { 5 }{ 2 } )<br /> \end{eqnarray*}$ "

Das was dann folgt ist mir klar, allerdings dieser Schritt nicht!
Ich habe es bis jetzt so gerlernt, dass ich die Gleichung mal so weit umforme,
damit ich eine Bedingung für x1 darstellen kann:

$\begin{eqnarray*} { x }_{ 1 }{ =\quad \frac { 3 }{ 2 } }\quad +\quad \frac { 5 }{ 2 } { x }_{ 2 } \end{eqnarray*}$ (für x2=0 und x2=1)

somit würde ich zu folgender Form kommen:

$\begin{eqnarray*} (\frac { x1 }{ x2 } )\quad =\quad (\frac { \frac { 3 }{ 2 } }{ 0 } )\quad +\quad t\quad (\frac { \frac { 5 }{ 2 } }{ 1 } ) \end{eqnarray*}$

Für jede Wahl von x2 erhalte ich ja ein x1, also müssten ja beide Varianten möglich sein, oder nicht?

Ich dachte mir, dass in der Lösung hald -1 gewählt wurde, weil das direkt in der gleichung ersichtlich ist, aber wenn ich beide Koordinaten einzeichne, sind die Punkte nicht auf der selben Gerade!! Wie kann das denn sein?

Bitte um Hilfe!

lg

23.06.2012, 21:16

opi

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Beide Punkte liegen auf derselben Geraden:
[attach]25046[/attach]

Wenn Du in Deine Parametergeradengleichung für t=-1 einsetzt, erhältst Du den Punkt des Stützvektors der Lösungsgleichung. Und Dein Richtungsvektor, multipliziert mit zwei, ergibt den Richtungsvektor der Lösung.

Nebenbei: Den Normalenvektor der Geradengleichung kann man direkt aus der Koordinatengleichung ablesen. Ich nehme an, daß diese Aufgabe eine Hinführung sein soll. smile

24.06.2012, 19:09

weizenhuhn

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Danke für die Antwort. Leider hat's noch nicht völlig klick gemacht, zumal mir ein "Stützvektor" nichts sagt. Ist der "Richtungsvektor" das selbe? (da ich mit diesem Begriff vertrauter bin.)

Wäre jetzt ganz konkret dann meine Form (die letzte formel) auch korrekt, oder?
Und wie kommt man denn genau auf den Ortsvekter bzw. Punkt (-1 -1)?? Einfach durch einsetzen in die Gleichung?
Und Der Normalvektor ist dann gleich (2 -5), was je genau den Koeffizenten entspicht.. Sind die Koeffizenten denn automatisch die Koordinaten des Normalvektors?

Tut mir leid dass ich nerve, aber dieses Kapitel bereitet mir (noch) einige Verständnis Probleme.. :/

24.06.2012, 20:52

Gualtiero

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(Solange opi nicht da ist)

Der Stützvektor steht als erstes in der Parametergleichung einer Gerade/Ebene und ist der Ortsvektor eines Punktes, der in der Gerade/Ebene enthalten ist. Der Punkt (-1 -1) ist sicher durch Einsetzen berechnet worden, Du könntest genauso gut selber einen berechnen.

Der Normalvektor ist hier $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ -5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und ist - wie Du richtig vermutest und opi auch schon gesagt hat - in der Koordinatenform ablesbar.

Zur Vektorendarstellung in latex:

code:
1:	[latex]\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}[/latex]

für einen Vektor in R³.

Im Formeleditor - rechts unter "Werkzeuge" oder im Antworten-Fenster - sind die gebräuchlichsten mathematischen Symbole und Schreibweisen zusammengefasst.

Schau auch mal hier rein oder klick in irgendeinem Beitrag, der eine für Dich interessante Formel enthält, auf "zitat", dann siehst Du den Quellcode.

27.06.2012, 14:48

weizenhuhn

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DANKE!!

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