Extrema mit Nebenbedingungen |
23.06.2012, 21:57 | Hollyw00d | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Extrema mit Nebenbedingungen Meine Gleichungen bezüglich der Lagrange Methode: ist das bis hier richtig? Und was wäre mein nächster Schritt? 2 Gleichungen nach umstellen und dann gleichsetzen? Also so: Aber dann hätte ich in dieser Gleichung noch das ? So richtig weiß ich gerade nicht weiter... |
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24.06.2012, 12:50 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Du kannst aus den ersten drei Gleichungen beide Lambdas leicht eliminieren (schreibe sie doch geordnet nach den Unbekannten (!) untereinander und dann --> Gleichungen subtrahieren), sodass schließlich übrig bleiben. Danach setzt du dies in die beiden Nebenbedingungen ein und erhältst alle Werte x, y und z [ ] EDIT (mY+): Fehler korrigiert mY+ |
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24.06.2012, 16:54 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Bis dahin ja, aber das Unheil naht bereits in großen Schritten...
Und da ist es schon...Dein einziger Beitrag zur Auflösung des nichtlinearen GLS besteht also in einer falschen Gleichung...
Und was ist mit y und z? Sind das bei dir keine Variablen?...
Wüßte ich auch nicht nach deinem Ansatz... Zu deiner Ehrenrettung sei aber gesagt, dass sich auch mYthos verrechnet hat... Mein Tipp: Addiere die ersten 3 Gleichungen und verwende dann x+y+z=0... Aus dem resultierenden Wert für solltest du nach dem Einsetzen in die ersten zwei(!) Gleichungen dann sofort schließen können, dass y=0 und folglich auch x+z=0 sein muss... |
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24.06.2012, 17:01 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
, ich war wohl zu schludrig in der Eile, THX Myst! |
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24.06.2012, 19:58 | Hollyw00d | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Erst mal danke, dass ihr mir bei meinem Problem zur Seite steht Gut und verständlich erklärt Bin jetzt soweit, dass ich alle möglichen Punkte habe: die Kombinationen spielen keine Rolle, weil hier die Nebenbedingung x+y+z=0 nicht erfüllt werden kann. Dann muss ich die Punkte noch in die Funktion f(x,y,z) einsetzen und erhalten dann das P1 ein Maximum und P2 ein Minimum ist. Right? |
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24.06.2012, 21:19 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Wie in aller Welt kommst du zunächst auf 4 Punkte? Du weisst doch, dass z=-x ist, durch einsetzen erhältst du, zusammen mit die quadratische Gleichung mit der Lösung und es ist daher Des weiteren kann ich deine Zuordnung von Maxima und Minima nicht nachvollziehen... Du weißt schon, dass die Funktion ein Maximum bzw. Minimum werden soll...Was hast du dir dazu überlegt? |
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24.06.2012, 21:39 | Hollyw00d | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Also meine Werte sind was ja das gleiche ist wie dann und y=0 aus diesen Werten muss ich doch alle möglichen Punktkombinationen aufstellen, oder? Und diese dann in die Ausgangsgleichung f(x,y,z)=5x+y-3z einsetzen um festzustellen ob es sich bei den Punkten entweder um ein Minimum oder Maximum handelt. |
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24.06.2012, 21:52 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Nein, eben nicht... Hast du wirklich gelesen, wie ich das oben hergeleitet habe? Ich habe zunächst die x-Werte bestimmt, und daraus ergeben sich dann die z-Werte wegen z=-x automatisch ... Also nix mit"Kombinationen" oder ähnlichem...
Ja, aber ich sehe nicht, dass du das gemacht hast... Auf welcher Raumkurve liegen übrigens die Extrema? |
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24.06.2012, 22:13 | Hollyw00d | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Achso...ok jetzt hab ich das mit den Punkten verstanden Da , ergibt sich durch x = -z für und Da , ergibt sich durch x = -z für dazu noch y = 0 und ich hab die beiden Punkte auf die ich mich beziehen muss. Ich setze P1 und P2 in die Ausgangsgleichung ein und erhalte --> Minimum --> Maximum |
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24.06.2012, 22:17 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Würde ich auch so sehen... |
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25.06.2012, 10:54 | Hollyw00d | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Hab mich noch gar nicht bedankt nice work ...und sehr geduldig |
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25.06.2012, 11:34 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Gern geschehen, zumal es sich hierbei um eine nette Aufgabe aus der nichtlinearen Optimierung handelt, die ich gleich meiner Sammlung einverleibt habe... |
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25.06.2012, 21:59 | Hollyw00d | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Hab noch eine weitere Aufgabe zu diesem Thema: [attach]25073[/attach] Also zu Fall 1: , der ja laut Aufgabenstellung behandelt werden kann wie Extrema ohne Nebenbedinungen, habe ich folgendes: 1. Gradient von f = (über dem Gleichheitszeichen soll eigentlich noch ein Ausrufezeichen stehen, weiß aber nicht ob das im Formeleditor geht) 2. Gleichungssystem lösen, dadurch erhalte ich für x = 0 und für y = 0. 3. dann bilde ich die Hesse-Matrix: , dann berechne ich die Determinate dieser Matrix, die da wäre: Det = -9 < 0, also handelt es sich bei um einen Sattelpunkt. So zum Fall 2: Nebenbedingung: Ich bilde wieder die Lagrange-Funktion: Nun der Gradient der Lagrange-Fkt: Ich hab jetzt wieder versucht das zu "entfernen" und hab dann noch die 2 Gleichungen: Ist das vorgehen soweit richtig? Oder bin ich doch auf dem Holzweg |-) |
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25.06.2012, 22:48 | Master1991 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Hi, also die zweite Aufgabe die du gepostet hast kommt mir extrem bekannt vor und da haben wir sie auch schon: Extrema mit Nebenbedingung Hoffe das Hilft. Ps.: Nur für den Fall darfst du dir die globalen Extreme anschauen, nur der Notationstechnische Hinweis. |
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25.06.2012, 22:53 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Der Gradient stimmt nicht, ist aber vermutlich nur ein Tippfehler...
Ich hätte ja für die erste Gleichung einfach (3x-y)(x+3y)=0 geschrieben, aber es geht sicher auch so... Edit: Ah richtig, das hatten wir vor kurzem schon mal... |
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26.06.2012, 00:14 | Hollyw00d | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Nice... thanks guys |
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26.06.2012, 16:16 | Hollyw00d | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ok...doch noch nicht ganz durch mit der Aufgabe |-) Ich hab jetzt 4 Extrema und hab diese dann in die Funktionsgleichung: eingesetzt und erhalte dann folgende Werte: für für für für jetzt weiß ich aber nicht wie ich die Zuordnung treffen soll, was lokales/globales Minimum/Maximum ist? |
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26.06.2012, 19:08 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Alles andere, als dass die Punkte mit den kleineren/größeren z-Werten Minima/Maxima sind, würde mich persönlich jetzt überraschen... Du könntest aber auch nachsehen, ob grad f(x,y) für diese Punkte parallel zu (x,y) ist und nach außen weist (=Maximum) oder nach innen(=Minimum)... |
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