Extrema mit Nebenbedingungen

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Hollyw00d Auf diesen Beitrag antworten »
Extrema mit Nebenbedingungen
[attach]25047[/attach]

Meine Gleichungen bezüglich der Lagrange Methode:









ist das bis hier richtig? Und was wäre mein nächster Schritt? 2 Gleichungen nach umstellen und dann gleichsetzen? Also so:



Aber dann hätte ich in dieser Gleichung noch das ? So richtig weiß ich gerade nicht weiter...
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Du kannst aus den ersten drei Gleichungen beide Lambdas leicht eliminieren (schreibe sie doch geordnet nach den Unbekannten (!) untereinander und dann --> Gleichungen subtrahieren), sodass schließlich



übrig bleiben. Danach setzt du dies in die beiden Nebenbedingungen ein und erhältst alle Werte x, y und z [ ]

EDIT (mY+): Fehler korrigiert

mY+
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Hollyw00d
ist das bis hier richtig?

Bis dahin ja, aber das Unheil naht bereits in großen Schritten... Big Laugh

Zitat:
Original von Hollyw00d
Und was wäre mein nächster Schritt? 2 Gleichungen nach umstellen und dann gleichsetzen? Also so:


Und da ist es schon...Dein einziger Beitrag zur Auflösung des nichtlinearen GLS besteht also in einer falschen Gleichung... unglücklich

Zitat:
Original von Hollyw00d
Aber dann hätte ich in dieser Gleichung noch das ?

Und was ist mit y und z? Sind das bei dir keine Variablen?... verwirrt

Zitat:
Original von Hollyw00d
So richtig weiß ich gerade nicht weiter...

Wüßte ich auch nicht nach deinem Ansatz... geschockt Zu deiner Ehrenrettung sei aber gesagt, dass sich auch mYthos verrechnet hat...

Mein Tipp:

Addiere die ersten 3 Gleichungen und verwende dann x+y+z=0... Aus dem resultierenden Wert für solltest du nach dem Einsetzen in die ersten zwei(!) Gleichungen dann sofort schließen können, dass y=0 und folglich auch x+z=0 sein muss...
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Teufel , ich war wohl zu schludrig in der Eile, THX Myst!
Hollyw00d Auf diesen Beitrag antworten »

Erst mal danke, dass ihr mir bei meinem Problem zur Seite steht Prost

Gut und verständlich erklärt Freude

Bin jetzt soweit, dass ich alle möglichen Punkte habe:



die Kombinationen




spielen keine Rolle, weil hier die Nebenbedingung x+y+z=0 nicht erfüllt werden kann.

Dann muss ich die Punkte noch in die Funktion f(x,y,z) einsetzen und erhalten dann
das P1 ein Maximum und P2 ein Minimum ist.

Right?
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Wie in aller Welt kommst du zunächst auf 4 Punkte? Du weisst doch, dass z=-x ist, durch einsetzen erhältst du, zusammen mit



die quadratische Gleichung



mit der Lösung



und es ist daher



Des weiteren kann ich deine Zuordnung von Maxima und Minima nicht nachvollziehen... Du weißt schon, dass die Funktion



ein Maximum bzw. Minimum werden soll...Was hast du dir dazu überlegt?
 
 
Hollyw00d Auf diesen Beitrag antworten »

Also meine Werte sind

was ja das gleiche ist wie

dann



und

y=0

aus diesen Werten muss ich doch alle möglichen Punktkombinationen aufstellen, oder?

Und diese dann in die Ausgangsgleichung f(x,y,z)=5x+y-3z einsetzen um festzustellen ob es sich bei den Punkten entweder um ein Minimum oder Maximum handelt.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Hollyw00d
aus diesen Werten muss ich doch alle möglichen Punktkombinationen aufstellen, oder?

Nein, eben nicht... Hast du wirklich gelesen, wie ich das oben hergeleitet habe? Ich habe zunächst die x-Werte bestimmt, und daraus ergeben sich dann die z-Werte wegen

z=-x

automatisch ... Also nix mit"Kombinationen" oder ähnlichem...

Zitat:
Original von Hollyw00d
Und diese dann in die Ausgangsgleichung f(x,y,z)=5x+y-3z einsetzen um festzustellen ob es sich bei den Punkten entweder um ein Minimum oder Maximum handelt.

Ja, aber ich sehe nicht, dass du das gemacht hast... Auf welcher Raumkurve liegen übrigens die Extrema?
Hollyw00d Auf diesen Beitrag antworten »

Achso...ok jetzt hab ich das mit den Punkten verstanden

Da , ergibt sich durch x = -z für

und

Da , ergibt sich durch x = -z für

dazu noch y = 0

und ich hab die beiden Punkte auf die ich mich beziehen muss.

Ich setze P1 und P2 in die Ausgangsgleichung ein und erhalte
--> Minimum
--> Maximum
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Hollyw00d
Ich setze P1 und P2 in die Ausgangsgleichung ein und erhalte
--> Minimum
--> Maximum

Würde ich auch so sehen... Freude
Hollyw00d Auf diesen Beitrag antworten »

Hab mich noch gar nicht bedankt geschockt

nice work Freude

...und sehr geduldig smile Prost
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Gern geschehen, zumal es sich hierbei um eine nette Aufgabe aus der nichtlinearen Optimierung handelt, die ich gleich meiner Sammlung einverleibt habe... Augenzwinkern
Hollyw00d Auf diesen Beitrag antworten »

Hab noch eine weitere Aufgabe zu diesem Thema:
[attach]25073[/attach]

Also zu Fall 1: , der ja laut Aufgabenstellung behandelt werden kann wie Extrema ohne Nebenbedinungen, habe ich folgendes:

1. Gradient von f = (über dem Gleichheitszeichen soll eigentlich noch ein Ausrufezeichen stehen, weiß aber nicht ob das im Formeleditor geht)

2. Gleichungssystem lösen, dadurch erhalte ich für x = 0 und für y = 0.

3. dann bilde ich die Hesse-Matrix: , dann berechne ich die Determinate dieser Matrix, die da wäre: Det = -9 < 0, also handelt es sich bei um einen Sattelpunkt.


So zum Fall 2: Nebenbedingung:

Ich bilde wieder die Lagrange-Funktion:



Nun der Gradient der Lagrange-Fkt:

Ich hab jetzt wieder versucht das zu "entfernen" und hab dann noch die 2 Gleichungen:



Ist das vorgehen soweit richtig? Oder bin ich doch auf dem Holzweg |-)
Master1991 Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

also die zweite Aufgabe die du gepostet hast kommt mir extrem bekannt vor und da haben wir sie auch schon:

Extrema mit Nebenbedingung Augenzwinkern

Hoffe das Hilft.


Ps.: Nur für den Fall darfst du dir die globalen Extreme anschauen, nur der Notationstechnische Hinweis.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Hollyw00d
1. Gradient von f =

Der Gradient stimmt nicht, ist aber vermutlich nur ein Tippfehler...

Zitat:
Original von Hollyw00d
Ich hab jetzt wieder versucht das zu "entfernen" und hab dann noch die 2 Gleichungen:


Ich hätte ja für die erste Gleichung einfach (3x-y)(x+3y)=0 geschrieben, aber es geht sicher auch so... Augenzwinkern

Edit: Ah richtig, das hatten wir vor kurzem schon mal... Wink
Hollyw00d Auf diesen Beitrag antworten »

Nice...

thanks guys Prost
Hollyw00d Auf diesen Beitrag antworten »

Ok...doch noch nicht ganz durch mit der Aufgabe |-)

Ich hab jetzt 4 Extrema und hab diese dann in die Funktionsgleichung: eingesetzt und erhalte dann folgende Werte:

für

für

für

für

jetzt weiß ich aber nicht wie ich die Zuordnung treffen soll, was lokales/globales Minimum/Maximum ist?
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Alles andere, als dass die Punkte mit den kleineren/größeren z-Werten Minima/Maxima sind, würde mich persönlich jetzt überraschen...

Du könntest aber auch nachsehen, ob grad f(x,y) für diese Punkte parallel zu (x,y) ist und nach außen weist (=Maximum) oder nach innen(=Minimum)...
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