Besonderer Untergruppen-Nachweis

24.06.2012, 15:39

Travys1337

Besonderer Untergruppen-Nachweis

Meine Frage:
Hey, Leute. Ich habe eine Übungsaufgabe gefunden, von der ich nicht genau verstanden habe, wie sie zu lösen ist. Auf gehts:

Sei $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ eine nichtleere Teilmenge von der Gruppe $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ .
Z.z.: $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ ist genau dann Untergruppe von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ , wenn gilt:
$\begin{eqnarray*} ab \in H \forall a, b \in H \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Zu meinen Ideen:

Wir haben als Nachweis einen Äquivalenzbeweis zu führen. Das weist man nach, indem man die "Hin-Richtung" und die "Rück-Richtung" zeigt; wenn beides gezeigt ist, herrscht automatisch Gleichheit zwischen den Aussagen.

Mein Problem:
Wie kann ich das zeigen?
Ich meine, wenn $\begin{eqnarray*} ab \in H \end{eqnarray*}$ ist, wie soll ich daraus konstruieren, dass, wenn das für alle $\begin{eqnarray*} a, b \in H \end{eqnarray*}$ gilt, das auch für eine Untergruppe reicht?
Ideen für beide Richtungen?

Edit: G soll endlich sein.

24.06.2012, 15:41

tmo

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Da fehlt auf jeden Fall irgendeine Voraussetzung, denn im Allgemeinen muss man noch verlangen, dass das Inverse drinliegt. Evtl. soll G endlich sein?

24.06.2012, 15:47

Travys1337

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Verdammt, ich hab's auch grad gesehen. Die Frage von mir ändert sich nicht.
Tatsächlich soll G endlich sein.

24.06.2012, 16:08

Captain Kirk

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Betrachte die Abb. $\begin{eqnarray*} f_a: H \to H , x\mapsto ax \end{eqnarray*}$ (warum definiert? Es ist aber a priori kein Homomorphismus.)
und zeige, dass sie surjektiv ist.

24.06.2012, 16:11

Travys1337

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Schaut mal über den Ansatz hier drüber:

Wenn $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ endlich ist, dann ist auch die Ordnung von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ endlich.

Dann gilt:
$\begin{eqnarray*} 1 = a^{n} = a*a^{n-1} = a*a^{-1+n} = a*a^{-1}*a^{n} \end{eqnarray*}$
und damit:
$\begin{eqnarray*} a^{-1} \in H \end{eqnarray*}$ , womit gezeigt ist: $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ ist unter diesen Bedingungen Untergruppe von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ .

Was meint ihr?

24.06.2012, 16:17

Captain Kirk

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Zitat:

Wenn $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ endlich ist, dann ist auch die Ordnung von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ endlich.

Das ist eine Tautologie.

Zitat:

Dann gilt: $\begin{eqnarray*} 1 = a^{n} = a*a^{n-1} = a*a^{-1+n} = a*a^{-1}*a^{n} \end{eqnarray*}$

Ich hege den Verdacht, du hättest G gerne zyklisch?
Und du zeigst nur $\begin{eqnarray*} 1= a\cdot a^{-1} \end{eqnarray*}$ , vermutlich sogar mittels eines Zirkelschlußes.

Zitat:

und damit:

Korrektorenspruch: woher? Die Begründungen vorher geben das nicht her.
(Es ist ja auch $\begin{eqnarray*} 3\cdot frac{1}{3} \cdot 2 \end{eqnarray*}$ eine ganze Zahl, deswegen ist 1/3 noch lange keine ganze Zahl.)

24.06.2012, 16:20

Mystic

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Zitat:

Original von Travys1337
Was meint ihr?

Ich meine, dass man hier nur die Endlichkeit von H braucht... Daraus folgt dann nämlich, dass für ein beliebiges $\begin{eqnarray*} a \in H \end{eqnarray*}$ ganze Zahlen i>j>0 geben muss, sodass gilt

$\begin{eqnarray*} a^i=a^j \Rightarrow a a^{i-j-1}=e \end{eqnarray*}$

wobei e das Einselement von G ist..

24.06.2012, 16:22

Travys1337

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Gut, aber wie zeige ich, dass die vorgeschlagene Abb. surjektiv ist?

24.06.2012, 16:26

Mystic

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Zitat:

Original von Travys1337
Gut, aber wie zeige ich, dass die vorgeschlagene Abb. surjektiv ist?

Auch da brauchst nur die Endlichkeit von H, nicht die von G... Eine injektive Abbildung einer endlichen Menge H in sich ist automatisch bijektiv...

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