Partialbruchzerlegung und Integration... Zerlegungsprobleme

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Calam Auf diesen Beitrag antworten »
Partialbruchzerlegung und Integration... Zerlegungsprobleme
Hallo an alle Mathematiker!

Ich habe ein Problem mit der Partialbruchzerlegung und Integration.

Es geht um


von -6 bis -5 (krieg's nicht ins Integral rein)

Mit Polynomdivision komm ich ja noch zurecht, aber ich habe dann immer große Schwierigkeiten, den Nenner zu zerlegen.



Gibt es Ansätze, wie man schnell auf Zerlegungen kommen kann? In den Übungen hatten wir natürlich nur einfache binomische Formeln oder einfache Dinge wie x²-5x+4.
Ich seh einfach nicht, was man da machen kann unglücklich

Freue mich über Tipps!

Viele Grüße

Calam
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Da solltest du schon mit einer Partialbruchzerlegung ran Augenzwinkern . Da es nur einfache
Nennernullstellen gibt, ist diese doch schnell machbar?!

btw. bei deiner Polynomdivision fehlt ein Rechenzeichen. Außerdem ist es +2.
Calam Auf diesen Beitrag antworten »

Oh, das muss natürlich +2 sein.

Vor der PBZ hatten wir immer so viel wie möglich rausgezogen.
Da wir wie gesagt immer nur bin. Formeln im Nenner hatten, hat man die Teile halbwegs schnell gesehen, aber hier probier ich einfach nur dumm rum und kenn keine Regel, wie man da rangeht
Equester Auf diesen Beitrag antworten »




Für die Nennernullstellen brauchst du doch hier nur die pq-Formel zu verwenden?
Das sind zwei Zeilen aufwand Augenzwinkern .
Calam Auf diesen Beitrag antworten »

Aah, ich wusste nicht, dass bei z.B. dem Nenner (x minus beliebig) das "beliebig" eine Nullstelle ist.
Manmanman, das ist ja so einfach <.< Danke!
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Ohohoh! Ich hoffe das wird nicht mehr vergessen! Das ist schon Grundlage in der Mittelstufe Augenzwinkern .

Es hat dann geklappt? smile
 
 
Calam Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Partialbruchzerlegung und Integration... Zerlegungsprobleme
Ja...
Ich glaube ich hab das nicht ganz verstanden, wie man vorgeht.

Wir hatten die Beispiele:
- keine reellen Nullstellen --> Bruch zerlegen
- Nenner = (x-3)² --> Zerlegen in die Nenner (x-3)² + (x-3) (Koeffizientenvergleich im Zähler)
- Nenner ist binomische Formel --> Zerlegen wie in 2. nur mit den Nennern der bin. Formel

Aber ich habe nichts von denen, sondern "nur" die Nenner (x-6) und (x-2).
Sind das dann meine beiden Nenner für die Zerlegung?

Ich kann ja mal mein Beispiel zeigen, allerdings komme ich nicht aufs richtige Ergebnis:

Ich habe also meinen polynomdivierten Bruch, der integriert werden soll:
(kriege hier kein Java, sorry)

(9x-24)/(x²-8x+12)
p-w-Formel ergibt x1=2, x2=6
zerlege:

A/(x-2) + B/(x-6) = (A*(x-6))/(x²-8x+12) + (B*(x-2))/(x²-8x+12)

umformen:

((A+B)*x)/(x²-8x+12) + (-6A-2B)/(x²-8x+12)

A+B = 1 => A = 1-B

-6A-2B = 1 => -6(1-B)-2B = 1
<=> -6+6B-2B = 1 => 4B-6 = 1
<=> 4B=7 => B=4/7
B in A=1-B einsetzen:
A=1-(7/4) = -3/4

=>
Integral von -6 bis -5 von

(9x-24)/(x²-8x+12) = int (-3/4)/(x-2) + int (7/4)/(x-6) | integrieren

=> (-3/4)*ln|x-2| + (7/4)*ln|x-6|

Wenn ich die Integralgrenzen dann einsetze bekomme ich nicht 1,1704 raus (Lösung), sondern 0,0521.

Was mache ich falsch? Hab ich das Prinzip nicht verstanden? traurig
Equester Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Partialbruchzerlegung und Integration... Zerlegungsprobleme
Zitat:
Original von Calam


Wir hatten die Beispiele:
- keine reellen Nullstellen --> Bruch zerlegen
- Nenner = (x-3)² --> Zerlegen in die Nenner (x-3)² + (x-3) (Koeffizientenvergleich im Zähler)
- Nenner ist binomische Formel --> Zerlegen wie in 2. nur mit den Nennern der bin. Formel

Aber ich habe nichts von denen, sondern "nur" die Nenner (x-6) und (x-2).
Sind das dann meine beiden Nenner für die Zerlegung?


1. Das kann ich nicht ganz nachvollziehen?
2. Das ist auch eine binomische Formel^^. Nämlich die zweite. Aber das Verfahren ist richtig. (mit + = und :P)
3. Du meinst den dritten Binomi? Dann passts.

2 und 3 sind nur Spezialfälle.
Der Normalfall ist was wir haben. Du hast auch schon den richtigen Ansatz.
Zumindest auf der linken Seite.



Was aber schreibst du rechts? Du musst ja iwie mit den Koeffizientenvergleichen.



Dann gehe eigentlich so vor, wie du das gemacht hast -> Nenner wegkriegen und
Koeffizientenvergleich machen smile .
Calam Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe die Zähler und Nenner jeweils mit dem Nenner von "gegenüber" multipliziert.
Wahrscheinlich weiß ich nicht so recht, was ich mit den A's und B's machen soll, bevor ich A und B genau ausrechnen kann, also wie ich die Koeffizienten rumschmeiße, bis es Sinn macht verwirrt

Wie vielleicht in meinem Post von gestern Morgen ersichtlich, habe ich einfach (noch unbekanntes A und analog B) mit dem anderen Nenner multipliziert, Zähler ausmultipliziert und umgeformt.
In meinen Übungsbeispielen hatten wir den erster Zähler immer zu (A+B)x umgeformt und der andere Zähler ergab sich dann durch's gezielte Umformen für den ersten Zähler.

Ich hoffe, du verstehst, was ich meine unglücklich
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Also das was ich rauslesen konnte, hat sich ganz gut angehört.



Multipliziere doch mal mit dem Hauptnenner. Auf der rechten Seite wird einfach
der Zähler übrig bleiben. Was steht links? Forme um wie du es selbst sagst:

Zitat:
Wie vielleicht in meinem Post von gestern Morgen ersichtlich, habe ich einfach
(noch unbekanntes A und analog B) mit dem anderen Nenner multipliziert, Zähler ausmultipliziert und umgeformt.
In meinen Übungsbeispielen hatten wir den erster Zähler immer zu (A+B)x umgeformt
und der andere Zähler ergab sich dann durch's gezielte Umformen für den ersten Zähler.
Calam Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich beide Summanden mit dem Hauptnenner (x²-8x+12) multipliziere, kommen ja oben gruselige Zähler raus auf der linken Seite, die ich auch nicht brauchbar zusammengefasst kriege traurig Und der Nenner auf der rechten Seite wird auch wirrer.
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Der Nenner auf der rechten Seite verschwindet, wenn du mit diesem multiplizierst?
Und links...so gruselig wird dieser nicht: Wir sagten doch x²-8x+12=(x-2)(x-6)...
Du kannst also kürzen Augenzwinkern .
Calam Auf diesen Beitrag antworten »

Meinst du sowas?



Wenn ich kürze, hab doch das ursprüngliche...

Mein allererster Ansatz war ja



aber das war ja falsch
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das ist falsch.
Ich rate dir unbedingt den Schulstoff nochmals anzuschauen.
Die Multiplikation mit dem Nenner darf nicht solche Schwierigkeiten bereiten geschockt .

Was du rechts gemacht hast: Multipliziert mit dem Nenner (was ich gefordert hatte).
Was du links gemacht hast: Die jeweiligen Brüche erweitert.

Neuer Versuch mit Konzentration bitte. Multipliziere die Gleichung mit dem Nenner der rechten Seite.

HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Calam
Mein allererster Ansatz war ja



aber das war ja falsch

Ich bin jetzt ein wenig irritiert ob der Bestätigung von Equester, dass das falsch sei. verwirrt
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Mein "Ja" bezog sich auf erstere Zeile.
Zu letzterer Zeile hatte ich keine Stellung genommen.
Wollte es ursprünglich, aber hab ich wegeditiert. Das hat dann nun wohl zu Missverständissen
geführt Augenzwinkern .


Diese Zeile aber weiters ignorieren. Sie ist leider nicht weiter hilfreich.
Hier gehts weiter:

Zitat:

Multipliziere die Gleichung mit dem Nenner der rechten Seite.


Calam Auf diesen Beitrag antworten »



kürzen









also und ?

Ich hab mich jetzt an einem ähnlichen Thread langehangelt.

Stimmt aber auch nicht.
Calam Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt weiß ich, warum nie die Lösung 1,1704 rauskam (unabhängig von meiner falschen Rechnung anfangs). Ich habe beim Integrieren die +2 vergessen Hammer , die dann ja zu 2x wird.
Schwere Geburt! Aber danke! Werde später die anderen neu versuchen und mal gucken, vielleicht klappt es ja auch bei den anderen ^^
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Also die Partialbruchzerlegung selbst ist nun richtig Freude .

Wenn noch was unklar ist, melde dich nochmals smile .


Wink
Calam Auf diesen Beitrag antworten »

Ich steh schon vor dem nächsten Problem.



Ich komme aber nicht auf das richtige Ergebnis unglücklich
Wo liegt mein Fehler?

Ebenso wie bei



Muss ich hier auch Polynomdivision machen?

Der Nenner hat nur eine Nullstelle. Was mach ich denn dann mit der Zerlegung?
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

-4x-4 stimmt nicht ganz.
Calam Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe es schon mit -4 ausgeklammert versucht, aber es kommt am Ende das gleiche raus.
Calam Auf diesen Beitrag antworten »

Oh, hab die -2 bei der PD mit in den Zähler gepackt smile Ich versuch's nachher nochmal
Calam Auf diesen Beitrag antworten »

Okay das geht und ist richtig.
Mein Problem bleibt jetzt, wenn ich im Nenner und Zähler den gleichen Grad hab verwirrt
Calam Auf diesen Beitrag antworten »

Quatsch, das hab ich ja die ganze Zeit gemacht ^^ Es geht um das Problem mit der einfachen Nullstelle und imaginären Nullstelle, wie ich das zerlegen soll. Aus unserem Beispiel werde ich nicht schlau und meine Übungsleiterin kann ich erst nächste Woche fragen unglücklich
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Hi Calman,

kannst du gerade nochmals zeigen wie weit du bist? Wo das Problem liegt?
Kann dir grad nicht folgen. Wir haben hier keine imaginären Nennernullstellen.
Diese hattest du schon ganz richtig bestimmt -> (x-1) und (x-4) sind die richtigen Faktoren Augenzwinkern .
Calam Auf diesen Beitrag antworten »

Die Teilaufgaben mit den Faktoren (x-1) und (x-4) sowie (x-2) und (x-6) habe ich endlich lösen können. Problem bereitet mir jetzt mein letztgeschriebenes Integral (mit -x²-4x-4 im Nenner), das hat ja nur eine Nullstelle bei -2, wo ich nicht weiß, wie man da zerlegen soll.
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Erst mal wieder Polynomdivision.

Der Nenner hat dann eine doppelte Nullstelle. Wie dies zu lösen ist, müsstest du doch wissen? Augenzwinkern


Wir haben eine doppelte Nullstelle. Wie man da vorzugehen hat, hast du mir
schon einmal gesagt. Mcah es so Augenzwinkern .

Zitat:
Original von Calam

Wir hatten die Beispiele:
- keine reellen Nullstellen --> Bruch zerlegen
- Nenner = (x-3)² --> Zerlegen in die Nenner (x-3)² + (x-3) (Koeffizientenvergleich im Zähler)
- Nenner ist binomische Formel --> Zerlegen wie in 2. nur mit den Nennern der bin. Formel
Calam Auf diesen Beitrag antworten »

also der Nenner hat doch nur die Nullstelle -2

x²+4x+4
mit pq-Formel:
-2+0 und -2-0 verwirrt




polynomdividiert ergibt bei mir

Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Die Polynomdivision ist richtig.

Die pq-Formel ist richtig. Wir haben hier auch einen Binomi -> (x+2)².
Du weißt wie du da vorzugehen hast? Augenzwinkern
Calam Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe es jetzt mit (x+2) und (x+2) als Nenner versucht, was allerdings nicht hinhaut:



moep,
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist auch der falsche Ansatz. Du sagtest mir selbst:

Zitat:
Original von Calam

Wir hatten die Beispiele:
- keine reellen Nullstellen --> Bruch zerlegen
- Nenner = (x-3)² --> Zerlegen in die Nenner (x-3)² + (x-3) (Koeffizientenvergleich im Zähler)
- Nenner ist binomische Formel --> Zerlegen wie in 2. nur mit den Nennern der bin. Formel



Dann mach das auch so! Augenzwinkern
Calam Auf diesen Beitrag antworten »

Okay das wird komisch:




verwirrt Kann man das so machen?
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Ist so richtig Freude .
Calam Auf diesen Beitrag antworten »

Oh wow, dann schmeiß ich mich mal ans Integral ran und hoffe den richtigen Wert rauszubekommen Wink

edit:
Okay, wie integriere ich denn denn

?

Am Ende hab ich nun

von 8 bis 9

--> von 8 bis 9


Stimmt das so?
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Ohohoh, das mit dem Integrieren müssen wir noch üben!

Integration von 1 ist?
Integration vom zweiten Summenanden? Der ln spielt hier keine Rolle. Letzteres ist richtig.


Btw


-> Da kommt überall en dx hin Augenzwinkern .
Calam Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt ist mein Post weg Oo

Das mit dem 1 int war ein Schusselfehler, muss natürlich x sein. Das dx lasse ich hier aus Bequemlichkeitsgründen weg.

Ich verstehe nicht ganz, wie das Integral vom 2. Summanden (habe es jetzt gewolframaplha't) zustande kommt, also




Vor meinem letzten Beispiel stehe ich auch ratlos da.




Ich habe die Vorzeichen umgedreht, und es mit Dingen wie (x-2)(x+5) versucht, aber irgendwas stimmt immer nicht
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

dx gehört aber dazu :P.

Naja, wie integrierst du 1/x². "Nichts" anderes hast du hier. Kannst auch bei Bedarf mit x+2=u
substituieren.




Polynomdivision ist wieder der Startschuss.
Calam Auf diesen Beitrag antworten »

Ah okay, ich hab es umgeschrieben in

dann einfach in der Potenz eins hoch und entsprechend davorgebastelt. Dann stimmt es wieder.

Polynomdivision habe ich gemacht, aber hilft mir bei der Wahl doch noch nicht weiter, oder? Muss ja erstmal den Nenner umschreiben können.
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Gut Freude .


Wie kommst du auf (x-2)(x+5)? Sicher, dass der Nenner so stimmt? Augenzwinkern
Wird komplex!
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