Wahrscheinlichkeitsrechnung: Auslastung einer Fluglinie

25.06.2012, 14:57

knofa

Wahrscheinlichkeitsrechnung: Auslastung einer Fluglinie

Meine Frage:
11.)

Eine Fluggesellschaft bietet mit einem Airbus ( 300 Sitzplätze ) Linienflüge
zwischen London und New York an. Erfahrungsgemäß wird ein gebuchter
Platz nur mit einer Wahrscheinlichkeit 0,8 tatsächlich belegt.

a)

In welchem Bereich liegt mit 95 % iger Wahrscheinlichkeit die Anzahl der
tatsächlich belegten Plätze bei einem ausgebuchten Flug?
[226 - 254]

b)

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem ausgebuchten Flug
mindestens 250 Plätze belegt werden?
[8,53]

c)

Infolge der Treibstoffverteuerung ist die Fluggesellschaft zur besseren
Auslastung der Flugzeuge dazu übergegangen, die Flüge überbuchen zu
lassen. Wie viele Buchungen darf sie annehmen, wenn das Risiko,
mindestens einen Passagier mit einem gebuchten Platz abweisen zu müssen,
höchstens 0,001 betragen soll?
[346]

d)

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei 20 % iger Überbuchung eines
Fluges nicht alle Fluggäste transportiert werden können?
[4,9%]

Leider fehlt mir jeglich Idee zu einem Ansatz! Ich weiß zwar dass dies eine BINOMINAL -Verteilung sein muss, bin mir aber nicht sicher wie ich so etwas lösen kann. Funktioniert das auch mit einer Annäherung an die Standardnormalverteilung??
Wie ergeben sich dann Werte für erwartungswert, standardabweichung?

Ich würde dieses Beispiel gerne durchrechnen, benötige aber leider einen kleinen Anstoß dazu! Ich erwarte explizit keinen Lösungsweg, sondern eher einen Tipp wie ich es selber Lösen könnte! - stehe gewissermaßen auf der leitung, habe aber auch noch keine erfahrung mit wahrscheinlichkeitsrechnung :/

Mit freundlichen Grüßen AP

Meine Ideen:
leider habe ich keine Idee dazu unglücklich

vor allem die suche nach einem bereich verwirrt mich total!
gebe deswegen nur die mir bekannte formel für binominalverteilung an:

$\begin{eqnarray*} p^{k} * (1-p)^{n-k) \end{eqnarray*}$

n ist dann also 300,p = 0,8

doch wie muss ich weiter einsetzen `?

25.06.2012, 15:16

Math1986

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RE: Wahrscheinlichkeitsrechnung: Auslastung einer Fluglinie
Hallo,
Binomialverteilung ist also schonmal richtig:
$\begin{eqnarray*} p^{k} * (1-p)^{n-k} \end{eqnarray*}$
Welchen Erwartungswert hast du hierbei?
Gesucht ist anscheinend ein um den Erwartungswert symmetrisches Intervall, in dem die Anzahl der tatsächlich belegten Plätze mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% liegt.

25.06.2012, 15:22

Mystic

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RE: Wahrscheinlichkeitsrechnung: Auslastung einer Fluglinie

Zitat:

Original von Math1986
Binomialverteilung ist also schonmal richtig:
$\begin{eqnarray*} p^{k} * (1-p)^{n-k} \end{eqnarray*}$

Ja, die Binomialverteilung stimmt hier natürlich, aber die Formel dazu nicht... geschockt

25.06.2012, 16:03

Math1986

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RE: Wahrscheinlichkeitsrechnung: Auslastung einer Fluglinie

Zitat:

Original von Mystic

Zitat:

Original von Math1986
Binomialverteilung ist also schonmal richtig:
$\begin{eqnarray*} p^{k} * (1-p)^{n-k} \end{eqnarray*}$

Ja, die Binomialverteilung stimmt hier natürlich, aber die Formel dazu nicht... geschockt

Sorry, copy&paste Fehler unglücklich

25.06.2012, 16:22

knofa

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danke erstmal für die antworten smile

ich möchte jetzt nochmal die formel richtig stellen und hoffe dass dies nun stimmt:

edit3: $\begin{eqnarray*} P(k)=\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}p^{k}*(1-p)^{n-k} \end{eqnarray*}$

ich setze also für p= 0,8 und n=300 ein!

EDIT: der erwartungswert is n*p also in diesem fall 240 oder?

Doch ich verstehe nun den Zusammenhang nicht ganz! Es scheint jedenfalls so als müsste ich den Wert 240 um 14 nach oben und unten variieren, da das ergebnis laut Lösungsbuch 226 - 254 ist!

Doch woraus ergibt sich dieser Wert?

Danke schonmal! MFG AP

25.06.2012, 16:38

knofa

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ich habe nun außerdem die varianz folgendermaßen berechnet:
$\begin{eqnarray*} var= n*p*(1-p) = 48<br /> <br /> Standardabweichung = \sqrt{var} =\sqrt{48} = 6,928 \end{eqnarray*}$

bedeutet das, dass man 2*sigma zum erwartungswert addieren bzw, subtrahieren muss um die grenzen zu erhalten?

25.06.2012, 16:51

narkos

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bedeutet das, dass man 2*sigma zum erwartungswert addieren bzw, subtrahieren muss um die grenzen zu erhalten?[/quote]

das hätte ich jetz auch so vermutet anhand der Lösungen. Aber meines Wissens nach gilt das doch nur für stetige ZV? Also Normalverteilung

25.06.2012, 17:00

knofa

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die annahme dürfte aber stimmen..habe nun ein ähnliches beispiel gerechnet und auch das richtige ergebnis dadurch erreicht!! dankeschön smile

nun zu punkt b),c) und d) smile

ad b) muss ich hier in die oben genannte formel einsetzen? wobei n=300,p=0,8 und k=250?
wenn ich das tue erhalte ich nämlich eine zahl die 37 kommastellen hat unglücklich

25.06.2012, 18:15

Dopap

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37 Nachkommastellen, Respekt! Wer rechnet sooo genau? verwirrt

b.) Sei X die anzahl der tatsächlich erscheinenden Fluggäste.

dann ist $\begin{eqnarray*} p_{250}= p(X > 250) \end{eqnarray*}$ gesucht. oder

$\begin{eqnarray*} p_{250}= 1-p(X\leq 250) = \sum_{\mu=0}^{250} \binom {300}{\mu} 0.8^{\mu} 0.2^{\mu} \end{eqnarray*}$

Das ist die exakte Rechnung. Natürlich könnte man mit Normalverteilung (---> Narkos ) approximieren.

25.06.2012, 18:23

knofa

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und genau hier liegt mein problem!
setze ich für den erwartungswert 240 ein

$\begin{eqnarray*} p_{250} = 0,8^{240} * 0,2^{240}] \end{eqnarray*}$ ergibt das $\begin{eqnarray*} 9,7*10^{-192} \end{eqnarray*}$

was mach ich denn nun schon wieder falsch unglücklich

?

bei der aproximierung durch standardnormalverteilung komme ich auf 7,74 % für b

wobei ich $\begin{eqnarray*} p_{250} = 1 - p(x_{st} \leq 250) = p(\frac{250-240}{6,92} = 1 - p(1,44)<br /> <br /> 1-sigma(1,44) = 1- 0,92507 = 0,07493 \end{eqnarray*}$

eingesetzt habe

25.06.2012, 18:58

Dopap

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dein Binomialversuch ist falsch.

1.) entweder du berechnest $\begin{eqnarray*} p_{250} \end{eqnarray*}$ exakt mit einer Summe binomial, was aber den Taschenrechner überfordern könnte und wie ich nun feststelle ist dies so!

Erst ein Programm liefert $\begin{eqnarray*} p_{250}=0.062207352 \end{eqnarray*}$

oder

2.) bleibt noch Approximation durch Normalverteilung.

$\begin{eqnarray*} p_{250n}= 0.0648 \end{eqnarray*}$ mit Stetigkeitskorrektur

letztendlich kommst du auf 0.075 ohne Stetigkeitskorrektur. Aber im Ansatz richtig.

25.06.2012, 19:28

knofa

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ich möchte dir ganz herlich danken!

Das von mir bzw. von dir ermittelte Ergebnis stimmt zwar nicht mit dem Lösungsheft überein, gibt mir aber aufschluss darüber wie ich vergleichbare beispiele lösen kann -> nämlich durch annäherung an die standardnormalverteilung!

nun zu Punkt c) wie muss ich dies handhaben!? kann ich mir einen neuen Erwartungswert duch Umformung der Standardisierung berechnen? ich bin leider wiedermal ratlos unglücklich

25.06.2012, 19:48

Dopap

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na ja, Lösungshefte sind immer so eine Sache.

Für die Aufgabe c.) Hab jetzt mal keine Zeit .
der Thread ist offen...

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