Eulersche Phi-Funktion

25.06.2012, 19:31	Aaaahhh...	Auf diesen Beitrag antworten »
Eulersche Phi-Funktion Meine Frage: Hallo, ich komme mit meiner Hausaufgabe nicht weiter und benötige eure Hilfe... Die Aufgabe lautet: Sei $\begin{eqnarray} m,n\in \mathbb N \end{eqnarray}$ (i) Sei $\begin{eqnarray} p\in P \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} p\|m \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie: $\begin{eqnarray} phi (pm) = pphi(m) \end{eqnarray}$ . (ii) Zeigen Sie: Falls $\begin{eqnarray} ggT(n,m)=p \end{eqnarray}$ , dann gilt $\begin{eqnarray} phi(mn)=\frac{p}{p-1} phi(m)phi(n) \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Ich hab bislang nur sehr sporadische Ansätze, bzw. eigentlich nahezu keine. Ich weiß, dass $\begin{eqnarray} phi(p)= p-1 \end{eqnarray}$ ist, was ja bei (ii) unterm Bruchstrich auch irgendwo auftaucht. Auch weiß ich, dass $\begin{eqnarray} phi(mn)=phi(m)(phi(n) \end{eqnarray}$ ist, wenn $\begin{eqnarray} m,n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ teilerfremd sind. Aber dann hörts irgendwie auch schon auf. Ich hoffe, ihr könnt mir helfen, jede Idee könnte mich weiter bringen. Danke schonmal!
25.06.2012, 19:36	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du jetzt noch weißt, dass $\begin{eqnarray} \varphi(p^k) = (p-1)p^{k-1} \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} k\geq 1 \end{eqnarray}$ gilt, dann kannst du die Aufgabe locker bewältigen.
26.06.2012, 09:12	Mystic	Auf diesen Beitrag antworten »
Du kannst natürlich, was die erste Aufgabe betrifft, auch nur mit der Definition der $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ -Funktion arbeiten, indem du dir überlegst, dass jedes der Intervalle $\begin{eqnarray} [(k-1)m+1,km], \quad k=1,2,...,p, \end{eqnarray}$ gleich viele Zahlen enthält, welche zu pm teilerfremd sind...

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