Komplexe Modulo Operation

25.06.2012, 20:56

Iridium

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Komplexe Modulo Operation

Hallo,

Zunächst zwei Vorüberlegungen:

1) Soweit ich weiß gilt:
$\begin{eqnarray*} a \mod x = a - x \left\lfloor \frac{a}{x} \right\rfloor \end{eqnarray*}$

2) Für komplexe Zahlen gibt es wohl einen analogen Zusammenhang (* bezeichnet die konjugiert komplexe Zahl):
$\begin{eqnarray*} m \mod n = m - n \left\lfloor \frac{m\,n^{*}}{n\,n^{*}} \right\rfloor \end{eqnarray*}$

Meine Fragen:

a) Gilt das allgemein oder nur für spezielle Klassen von komplexen Zahlen, z.B. die von Gauß bzw. Eisenstein?

b) Weiß jemand, wo man evtl. mehr Informationen zu dieser Verallgemeinerung findet? Wikipedia und Mathworld schweigen sich irgendwie aus.

c) Wenn a nochmal ein Produkt zweier Zahlen ist, dann kann man die Multiplikation und anschließende Division mit Rest gut auf der Zahlengerade veranschaulichen, nämlich als eine Streckung und anschließende "Rückprojektion", sobald eine "Elementarzelllänge", dem Wert des Modul entsprechend, überschritten wird. Wenn m ein Produkt zweier komplexer Zahlen ist, dann entspricht das geometrisch einer Drehstreckung. Aber welche Interpretation kommt dann dem komplexen Modul zu? In diesem Fall findet die Multiplikation ja sozusagen in der zweidimensionalen Gaußschen Zahlenebene statt, die durch n und m definierten Strecken sind nicht mehr parallel orientiert. Gibt es dann eine entsprechende Veranschaulichung im Sinne einer projizierten Strecke?

Gruß

27.06.2012, 20:22

Iridium

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Hallo,

Vielleicht eine einfachere Zwischenfrage:

Der wesentliche Unterschied in beiden Formeln betrifft ja nur den Inhalt der Floor-Funktion (die einem die nächstkleinere ganze Zahl zum eingeschlossenen Arguments liefert). Im zweiten Fall, dem mit den komplexen Zahlen, ist das Argument ja um die konjugiert komplexe Zahl n* zum komplexen Modul n erweitert. Man macht das vermutlich, damit bei der Multiplikation sichergestellt ist, daß nur reelle Zahlen als Argument der Floor-Funktion herauskommen, da andere Fälle nicht definiert sind? Stimmt diese Vorstellung?

Gruß

27.06.2012, 20:33

Mystic

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Ich muss zugeben, ich kann mit der Notation $\begin{eqnarray*} \lfloor z \rfloor \end{eqnarray*}$ , wobei z=x+iy eine komplexe Zahl ist, so überhaupt nichts anfangen, und offenbar bin ich damit nicht alleine...Du machst auch leider auch keine Andeutung dazu, was man sich darunter vorstellen soll...

28.06.2012, 11:32

Iridium

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Zitat:

Original von Mystic
Ich muss zugeben, ich kann mit der Notation $\begin{eqnarray*} \lfloor z \rfloor \end{eqnarray*}$ , wobei z=x+iy eine komplexe Zahl ist, so überhaupt nichts anfangen, und offenbar bin ich damit nicht alleine...Du machst auch leider auch keine Andeutung dazu, was man sich darunter vorstellen soll...

Ah ok, danke, das stimmt, das sollte ich tun.

Ich verstehe es so, daß es sich dabei um die normale Abrundungsfunktion handelt. Ich hab diese Formel aus einem ziemlich speziellen Fachartikel, der im Kern auch über etwas anderes geht. Ich zitiere mal die Definition dort:

"The complex modulo function is defined by
$\begin{eqnarray*} <br /> \eta \mod \pi = \eta - \left[\frac{\eta \cdot \pi^{*}}{\pi \cdot \pi^{*}}\right] \cdot \pi\,.<br /> \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} [\cdot] \end{eqnarray*}$ denotes rounding of complex numbers which is defined by rounding the real and imaginary parts to the closest integer."

Also, so wie ich es verstehe, die Abrundungsfunktion angewendet auf den reellen und den imaginären Teil, wobei ich auch nicht ganz verstehe, wie das auf die imaginäre Einheit zu beziehen ist. Daher meine Frage, ob man mit der konjugiert komplexen Zahl mutlipliziert, um diese Problematik zu vermeiden?

28.06.2012, 12:08

Mystic

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Zitat:

Original von Iridium
$\begin{eqnarray*} [\cdot] \end{eqnarray*}$ denotes rounding of complex numbers which is defined by rounding the real and imaginary parts to the closest integer."

Aha, es werden also Real-und Imaginärteil für sich auf die nächste ganze Zahl gerundet, und nicht abgerundet, wie man vielleicht glauben konnte... Das macht dann für mich schon etwas mehr Sinn... Nimmt man z.B. die Ringe

$\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}[\sqrt D] =\{a+b\sqrt d | a,b \in \mathbb Z \} \end{eqnarray*}$

so erhält man etwa mit der Norm =|a^2-b^2D| für D=-2,-1,2,3 jeweils einen euklidischen Ring, indem man bei der Division der Zahlen u und v in diesen Ringen zunächst die Division in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}[\sqrt D] \end{eqnarray*}$ in der von dir beschriebenen Weise (bei nicht komplexen Zahlen mutatis mutandis) durchführt und dann für das Ergebnis $\begin{eqnarray*} u+v\sqrt D \end{eqnarray*}$ die rationalen Zahlen u und v auf die nächsten ganzen Zahlen rundet... Damit gibt es dann in diesen Ringen eine "Division mit Rest" und insbesondere auch eine sinnvolle "modulo-Operation"...

28.06.2012, 13:04

Iridium

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Zitat:

Original von Mystic
Aha, es werden also Real-und Imaginärteil für sich auf die nächste ganze Zahl gerundet, und nicht abgerundet, wie man vielleicht glauben konnte... Das macht dann für mich schon etwas mehr Sinn...

Wäre es denn mathematisch sinnvoll eine Funktion zu definieren, die beide Anteile, Real- und Imaginärteil, jeweils getrennt abrundet (oder auch aufrundet)?

Bzw. andersherum gefragt, gibt es einen spezifischen Vorteil, daß man die nächste ganze Zahl nimmt?

Zitat:

Original von Mystic
...und dann für das Ergebnis $\begin{eqnarray*} u+v\sqrt D \end{eqnarray*}$ die rationalen Zahlen u und v auf die nächsten ganzen Zahlen rundet...

Wenn man Real- und Imaginärteil getrennt behandelt, dann ist es doch in gewisser Weise wie eine Projektion eines Vektors in die Einzelkomponenten?

Bzw., um auf die ursprüngliche Fragestellung zurückzukommen, gibt es dann eine "anschauliche" geometrische Interpretation der Anwendung dieser "komplexen Modulofunktion". Z.B. im Sinne eines Verhältnisses von Strecken (multiplikative Streckung, Rückprojektion durch Division mit Rest, wie bei Formel 1).

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28.06.2012, 13:34

Steffen Bühler

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Ich misch mich mal kurz ein...

Zitat:

Original von Iridium
Wäre es denn mathematisch sinnvoll eine Funktion zu definieren, die beide Anteile, Real- und Imaginärteil, jeweils getrennt abrundet (oder auch aufrundet)?

In der Signalverarbeitung wäre sowas denkbar. Ein digitaler Quadraturmodulator z.B. erzeugt aus zwei Eingangssignalen einen komplexen Zeiger, der, weil die Abtastwerte der beiden Signale über A/D-Wandler zu ganzen Zahlen gerundet bzw. abgeschnitten und dem Real- und Imaginärteil zugewiesen werden, ein gewisses "Quantisierungsrauschen" haben wird. Dieses Rauschen könnte man über solch eine Zuordnung simulieren.

Viele Grüße
Steffen

28.06.2012, 14:29

Mystic

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Zitat:

Original von Iridium
Bzw. andersherum gefragt, gibt es einen spezifischen Vorteil, daß man die nächste ganze Zahl nimmt?

Den gibt es in der Tat... Nehmen wir z.B. den Ring $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}[\i] \end{eqnarray*}$ der ganzen Gaußschen Zahlen, den man noch obigem für D=-1 erhält... In ihm kann man nun auf die oben beschriebene Art eine Division mit Rest definieren... Nehmen wir z.B. konkret u= 1+9i, v=3+2i, so wäre der Quotient im Körper $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ der komplexen Zahlen zunächst

$\begin{eqnarray*} \frac uv= \frac{21}{13}+\frac{25}{13}i \end{eqnarray*}$

und nach Rundung auf die nächste ganze Gaußsche Zahl dann 2+2i... Der Rest r bei dieser Division wäre daher

$\begin{eqnarray*} r = u- (2+2i)v=-1-i \end{eqnarray*}$

und das macht Sinn, denn die Norm des Rests, also 2, ist kleiner als die vom Divisor v, welche 13 beträgt... Würde man aber abrunden, so käme man beim Quotienten statt dessen auf 1+i und der "Rest" wäre dann 4i, dessen Norm 16 also größer als die Norm vom Divisor!!!

Zitat:

Original von Iridium
Bzw., um auf die ursprüngliche Fragestellung zurückzukommen, gibt es dann eine "anschauliche" geometrische Interpretation der Anwendung dieser "komplexen Modulofunktion". Z.B. im Sinne eines Verhältnisses von Strecken (multiplikative Streckung, Rückprojektion durch Division mit Rest, wie bei Formel 1).

Tut mir leid, mit geometrischen Interpretationen kann ich leichter nicht aushelfen, so es sie überhaupt gibt...

28.06.2012, 15:06

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von Mystic

Zitat:

Original von Iridium
Bzw., um auf die ursprüngliche Fragestellung zurückzukommen, gibt es dann eine "anschauliche" geometrische Interpretation der Anwendung dieser "komplexen Modulofunktion".

Tut mir leid, mit geometrischen Interpretationen kann ich leichter nicht aushelfen, so es sie überhaupt gibt...

Wenn ich nochmal dilettieren darf...

Das entspricht einer Art "Fanggitter". Wenn Du auf einem Karopapier (das die komplexe Ebene darstellen soll, mit ganzen Zahlen auf den Linien) einen beliebigen Punkt auswählst, wird diese Funktion die nächstgelegene Linienkreuzung berechnen. So etwas gibt es oft bei Zeichenprogrammen, die Rastergröße läßt sich normalerweise einstellen.

Viele Grüße
Steffen

28.06.2012, 17:26

Iridium

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Zitat:

Original von Steffen Bühler
Ich misch mich mal kurz ein...

In der Signalverarbeitung wäre sowas denkbar...

Gerne. Ja, ist ein interessantes Beispiel. Ich freue mich auf jeden Fall immer über solche Fallbeispiele, auch wenn sie vielleicht auf den ersten Blick nichts mit der ursprünglichen Problemstellung zu tun haben oder zumindest diesen Eindruck erwecken.

28.06.2012, 17:32

Iridium

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Zitat:

Original von Mystic
...und das macht Sinn, denn die Norm des Rests, also 2, ist kleiner als die vom Divisor v, welche 13 beträgt... Würde man aber abrunden, so käme man beim Quotienten statt dessen auf 1+i und der "Rest" wäre dann 4i, dessen Norm 16 also größer als die Norm vom Divisor!!!

Ja, ich hab mir schon gedacht, daß es sicher Gründe gibt, warum die Definition so und nicht anders ist. Das klingt logisch, daß man es so definiert, um konsistent zu bleiben.

Wenn ich Deine Beiträge richtig verstehe, dann gilt der Zusammenhang aus Formel 2 dann nicht nur im Komplexen, sondern für alle Fälle
$\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}[\sqrt D] =\{a+b\sqrt d | a,b \in \mathbb Z \} \end{eqnarray*}$ ?

28.06.2012, 17:34

Iridium

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Zitat:

Original von Steffen Bühler
Das entspricht einer Art "Fanggitter". Wenn Du auf einem Karopapier (das die komplexe Ebene darstellen soll, mit ganzen Zahlen auf den Linien) einen beliebigen Punkt auswählst, wird diese Funktion die nächstgelegene Linienkreuzung berechnen. So etwas gibt es oft bei Zeichenprogrammen, die Rastergröße läßt sich normalerweise einstellen.

Danke. Auch das ist ein interessanter Beitrag. Vielleicht sogar im Hinblick auf andere Problemstellungen, an denen ich im Moment sitze. Da könnte das nämlich sogar nützlich sein.

28.06.2012, 18:37

Mystic

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Zitat:

Original von Iridium
Wenn ich Deine Beiträge richtig verstehe, dann gilt der Zusammenhang aus Formel 2 dann nicht nur im Komplexen, sondern für alle Fälle
$\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}[\sqrt D] =\{a+b\sqrt D | a,b \in \mathbb Z \} \end{eqnarray*}$ ?

Ja, allerdings nur für einige Werte von D, wo ein euklidischer Ring dabei rauskommt, macht das wirklich Sinn und führt dann auf eine "Division mit Rest"...

28.06.2012, 20:39

Iridium

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Zitat:

Original von Mystic

Zitat:

Original von Iridium
Wenn ich Deine Beiträge richtig verstehe, dann gilt der Zusammenhang aus Formel 2 dann nicht nur im Komplexen, sondern für alle Fälle
$\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}[\sqrt D] =\{a+b\sqrt D | a,b \in \mathbb Z \} \end{eqnarray*}$ ?

Ja, allerdings nur für einige Werte von D, wo ein euklidischer Ring dabei rauskommt, macht das wirklich Sinn und führt dann auf eine "Division mit Rest"...

Das ist interessant, weil, wie ich nachgelesen habe, die Gauß- und Eisenstein-Zahlen darunter fallen, die eine nette geometrische Anbindung an das quadratische und das Dreiecksgitter haben.

Außerdem bedeutet das, daß man von zwei komplexen Zahlen einen größten gemeinsamen Teiler bestimmen kann?

28.06.2012, 20:44

Mystic

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Zitat:

Original von Iridium
Außerdem bedeutet das, daß man von zwei komplexen Zahlen einen größten gemeinsamen Teiler bestimmen kann?

Ja, Euklidische Ringe haben fast alle schönen Eigenschaften, die man von den ganzen Zahlen her kennt, insbesondere existieren der ggT und das kgV für bel. zwei Elemente...

29.06.2012, 13:57

Iridium

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Zitat:

Original von Mystic

Zitat:

Original von Iridium
Außerdem bedeutet das, daß man von zwei komplexen Zahlen einen größten gemeinsamen Teiler bestimmen kann?

Ja, Euklidische Ringe haben fast alle schönen Eigenschaften, die man von den ganzen Zahlen her kennt, insbesondere existieren der ggT und das kgV für bel. zwei Elemente...

Ja, dann schon mal vielen Dank für die Kommentare. Das hat doch einiges geklärt und Gedanken in andere Richtungen angestossen.

Vielleicht noch eine Frage: welchen Zweck erfüllt die Multiplikation mit der konjugiert komplexen Zahl? Im Nenner ergibt sich auf diese Weise ja das Quadrat des Betrages des komplexen Moduls $\begin{eqnarray*} n \cdot n^{*} = |n|^{2} \end{eqnarray*}$ , ist das schon die mögliche Begründung? Ansonsten sind sich die Formeln für den reellen und den komplexen Fall ja im Grunde ziemlich ähnlich.

29.06.2012, 15:47

Mystic

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Man braucht das vor allem im Zusammenhanghang mit Quotientbildungen, wenn man diesen dann wieder auf die Standardform x+iy einer komplexen Zahl bringen will...

Z.B. würde die Rechnung zum Beispiel von oben - ausführlich angeschrieben - so aussehen:

$\begin{eqnarray*} \frac {1+9i}{3+2i}=\frac {(1+9i)(3-2i)}{(2+3i)(3-2i)}=\frac{21+25i}{13}=\frac{21}{13}+\frac{25}{13}i \end{eqnarray*}$

30.06.2012, 15:26

Iridium

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Zitat:

Original von Mystic
Man braucht das vor allem im Zusammenhanghang mit Quotientbildungen, wenn man diesen dann wieder auf die Standardform x+iy einer komplexen Zahl bringen will...

Z.B. würde die Rechnung zum Beispiel von oben - ausführlich angeschrieben - so aussehen:

$\begin{eqnarray*} \frac {1+9i}{3+2i}=\frac {(1+9i)(3-2i)}{(2+3i)(3-2i)}=\frac{21+25i}{13}=\frac{21}{13}+\frac{25}{13}i \end{eqnarray*}$

Ah, ok. Das ergibt sich schon aus der Regel für die Division komplexer Zahlen. Da muß ich mal was auffrischen, lange nicht gebraucht :-).

Danke nochmal.

30.06.2012, 18:22

Mystic

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Gern...

Wink

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