Noether-Bedingung erfüllt

26.06.2012, 13:27	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Noether-Bedingung erfüllt Meine Frage: Zeigen Sie, dass beim Zweistichprobenproblem mit $\begin{eqnarray} a_N(i)=\begin{cases}0, &\mbox{ falls }i\leq m\\1, &\mbox{ falls }i>m\end{cases} \end{eqnarray}$ die Noether-Bedingung erfüllt ist, falls $\begin{eqnarray} \min\left\{m,n\right\}\to\infty \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} N=m+n\to\infty \end{eqnarray}$ . ------------------ Informationen zur Aufgabe: Zur Herkunft der $\begin{eqnarray} a_N(i) \end{eqnarray}$ : Es geht hier um eine lineare Rangstatistik $\begin{eqnarray} S_N=\sum\limits_{i=1}^{N}a_N(i)b_N(R_i) \end{eqnarray}$ . Die Noether-Bedingung lautet: $\begin{eqnarray} \frac{\max_{1\leq i\leq N}(a_N(i)-\overline{a_N})^2}{\sum\limits_{i=1}^{N}(a_N(i)-\overline{a_N})^2}\to 0 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} N\to\infty \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} \overline{a_N}=\frac{1}{N}\sum\limits_{i=1}^{N}a_N(i) \end{eqnarray}$ , also das arithmetische Mittel der $\begin{eqnarray} a_N(i) \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Hallo, liebe MatheboardlerINNEN, ich habe mich mal dran versucht. Hier ist mein Beweis, von dem ich gerne wüsste, ob er korrekt ist. Beweis: Es gilt: $\begin{eqnarray} (a_N(i)-\overline{a_N})^2=\begin{cases}\overline{a_N}^2=\frac{n^2}{N^2}, &\mbox{ falls }i\leq m\\(1-\overline{a_N})^2=\frac{m^2}{N^2}, &\mbox{ falls }i>m\end{cases} \end{eqnarray}$ Außerdem: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{i=1}^{N}(a_N(i)-\overline{a_N})^2=\underbrace{\sum\limits_{i=1}^{N}(a_N(i))^2}_{=n^2}-\underbrace{2\overline{a_N}\sum\limits_{i=1}^{N}a_N(i)}_{=2\overline{a_N}n}+\underbrace{\sum\limits_{i=1}^{N}\overline{a_N}^2}_{=N\overline{a_N}^2}=n^2-\frac{3n^2}{N} \end{eqnarray}$ 1. Fall: $\begin{eqnarray} m\leq n \end{eqnarray}$ Dann: $\begin{eqnarray} \max_{1\leq i\leq N}(a_N(i)-\overline{a_N})^2=\frac{n^2}{N^2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \frac{\max_{1\leq i\leq N}(a_N(i)-\overline{a_N})^2}{\sum\limits_{i=1}^{N}(a_N(i)-\overline{a_N})^2}=\frac{\frac{n^2}{N^2}}{n^2-\frac{3n^2}{N}}=\frac{1}{N(N-3)} \end{eqnarray}$ Da $\begin{eqnarray} N(N-3)\to\infty \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} N\to\infty \end{eqnarray}$ , geht dieser Ausdruck gegen 0 für $\begin{eqnarray} N\to\infty \end{eqnarray}$ . 2. Fall: $\begin{eqnarray} m>n \end{eqnarray}$ Dann: $\begin{eqnarray} \max_{1\leq i\leq N}(a_N(i)-\overline{a_N})^2=\frac{m^2}{N^2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \frac{\max_{1\leq i\leq N}(a_N(i)-\overline{a_N})^2}{\sum\limits_{i=1}^{N}(a_N(i)-\overline{a_N})^2}=\frac{m^2}{n^2N(N-3)} \end{eqnarray}$ Da nach Voraussetzung $\begin{eqnarray} \min\left\{m,n\right\}=n\to\infty \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} n^2N(N-3)\to\infty \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} N\to\infty, n\to\infty \end{eqnarray}$ Daher: $\begin{eqnarray} \frac{m^2}{n^2N(N-3)}\to 0 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} N\to\infty \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Box \end{eqnarray}$ Viele Grüße! Dennis
26.06.2012, 18:07	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Noether-Bedingung erfüllt Ich glaube nicht, dass sie zu schwer sind. Aber vielleicht ist die Nichtparametrik einfach nicht so "beliebt" oder vielleicht sehr speziell. In anderen Foren habe ich es auch bereits versucht, da ist es genauso. Ich kann natürlich auch niemandem einen Vorwurf machen, es ist ja auch mit den Notationen immer nicht ganz so klar. Ich versuche, die Notationen immer mglichst ausführlich hinzuschreiben und zu erklären, aber es ist vielleicht wirklich zu spezifisch und vielleicht schreckt es ab. PS. Ich denke sogar, dass dieses Forum kompetenter als alle anderen Foren ist. Ich kann nur staunen, was Manche hier können. Wahnsinn. Könnte ich das nur auch alles so gut.
27.06.2012, 22:38	juffo-wup	Auf diesen Beitrag antworten »
Leider kann ich dir mit dem Problem nicht helfen, aber hast du es schon mal auf einer englischen Seite versucht? "Math Stack Exchange" ( http://math.stackexchange.com/ ) ist z.B. ziemlich groß und ich habe schon positive Erfahrungen damit gemacht (allerdings in einem anderen Bereich als Statistik). Ich denke mal hier im Board ist es gerade bei sehr speziellen oder involvierten Fragen (insbesondere bei Stoff von Veranstaltungen nach dem 5.-6. Semester) Zufall, ob das dann gerade jemand sieht, der sich damit auskennt, weil es einfach nicht so viele Mitglieder gibt mit entsprechend viel Fachwissen in manchen Gebieten. Ansonsten, könntest du nicht jemanden (Studenten aus höheren Semestern vielleicht) im "Real Life" ( ) fragen sich den Beweis mal anzusehen? Normalerweise ist es leichter festzustellen ob ein Beweis stimmt als selbst einen zu finden (wenn der Beweis nicht allzu viele/komplizierte Fehler hat, wovon ich jetzt mal nicht ausgehen würde, wenn du ihn selber nochmal durchgegangen bist und so), also ist das ja wahrscheinlich keine so große Arbeit, sprich die meisten Leute mit entsprechendem Wissen würde denke ich mal nicht nein sagen, wenn du sie fragst.
27.06.2012, 22:52	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für den Hinweis, es mal auf englischsprachigen Seiten zu versuchen. Das werde ich tun!

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