Unahängigkeit von Ereignissen

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Unahängigkeit von Ereignissen
Hallo zusammen,

bei der folgende Aufgabe soll rechnerisch Bewiesen werden das die beiden relevanten Ereignisse (in dem Fall Mängel) unabhängig sind. Kann mit jemand sagen wie das rechnerisch zu machen ist? Ich weiss nur das bestimmte Rechenregeln für Unabhängige Ereignisse gelten, nicht aber wie man sie beweisen kann.

Die Aufgabe

Der Defekt eines produzierten Kugelschreibers kann zwei sich nicht ausschließende Ursa
chen haben: defekte Mechanik (Mangel 1) oder eine defekte Mine (Mangel 2). Die Wahr-
scheinlichkeit, dass ein Kugelschreiber defekt ist, beträgt 0.088. Die Wahrscheinlichkeit,
dass Mangel 1 auftritt, beträgt 0.05. Die Wahrscheinlichkeit, dass beide Mängel zusamme
auftreten, beträgt 0.002.

a) Treten die beiden Mängel unabhängig auf? Begründen Sie Ihre Aussage durch eine
Rechnung!

Viele Grüße
Kasen75 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

ich würde als erstes eine Vierfelder-Tafel anfertigen.




Dann solltest du ausrechnen (bedingte Wahrscheinlichkeit).

Ist , dann sind die Ereignisse unabhängig.

Mit freundlichen Grüßen.

P.S. Ich hatte aus Versehen zu früh den Botton gedrückt.
groebster Auf diesen Beitrag antworten »

Prima, soweit sogut. Hm diese Vierfeldtafel, da kann ich aber erstmal nicht viel ausfüllen oder liege ich falsch bzw. wo bringt sie mir etwas? Ich habe meine Aufzeichnungen mal hochgeladen.

Edit: Für die Unabhängigkeit zu beweisen geht P(B|A) = P(B) sowie P(A|B) = P(A) richtig?

Danke für deine Tipps bisher
Kasen75 Auf diesen Beitrag antworten »

Die sieht schon mal gut aus. Eine Angabe hast du ja noch: Die Wahr-
scheinlichkeit, dass ein Kugelschreiber defekt ist, beträgt 0.088
Das heißt, dass der Kugelschreiber mit einer Wahrscheinlichkeit von 1-0,088 weder eine defekte Mine hat, noch eine defekte Mechanik. Die restlichen Felder lassen sich dann berechnen.
groebster Auf diesen Beitrag antworten »

Hm, irgendwie wills gerade nicht so klick machen. Ich weiss ja was die Felder bedeuten (z.B. oben links P(A-nicht und B) ) aber wie man es aus dem gegebenen errechnen kann, vorallem die fehlende W`keit von B.
Ich bin mir ziemlich sicher das die beiden Ereignisse A und B unabhängig sind, aber ich kanns ja nicht vorraussetzen weil dann könnte ich die Formel P(A und B)=P(A)*P(B) nach P(B) umstellen...hmm
Kasen75 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich gebe zu, dass ich die dritte Angabe nicht erwähnt habe. Die Tabelle sieht erst mal so aus. Jetzt macht es klick!

 
 
groebster Auf diesen Beitrag antworten »

Ohje, ist mir grad etwas peinlich, es hat in der tat klick gemacht und so schwer war es dann nichtmal.
War zeitgleich auf einigen Internetseiten mich zu dem Thema am schlau lesen und bin dabei auf einer Darstellung gestoßen die anhand eines Ereignisbaumes die Vierfeldertafel veranschaulicht. Muss ganz ehrlich gestehen das ich die Tafel nur am Rande bisher zur Notiz genommen hatte.
Kannte bisher mehr die Kontingenztabelle aus der deskriptiven Statistik. Naja ich rechne mal weiter und poste dann meinen weiteren Schritte, sofern das klappt ;-).
Kasen75 Auf diesen Beitrag antworten »

Freu mich schon auf deine (Zwischen-)Ergebnisse. Wenn ´ne Frage auftaucht, kannst du ja kurz posten. ist ja jetzt leicht zu bestimmen.
groebster Auf diesen Beitrag antworten »

Ja genau, habe erstmal P(B|A) berechnet, sind 0,04. Daraus kann man dann P(B-nicht|A) berechnen, welches man mit P(A) multipliziert und daraus dann P(A und B-nicht) =0,048 erhält. Jetzt muss ich mal überlegen was ich weiter machen kann...
Kasen75 Auf diesen Beitrag antworten »

Perfekt! Freude Freude

Um die Unabhängigkeit zu zeigen, musst du nur noch sagen, dass P(B)=P(B|A) ist. Wenn man ein bisschen Übung hat, braucht man für die Erstellung der Tafel 2-3 Minuten. Und man behält die Übersicht.
groebster Auf diesen Beitrag antworten »

Ja stimmt wenn P(B)=P(B|A) sind die Ereignisse unabhängig, aber P(B) habe ich ja auch noch nicht ermittelt. Bin gerade noch am checken inwiefern sich der Rest der Tabelle ausfüllen lässt ( P(A-nicht und B), P(B) sowie P(B-nicht) ).
Ja richtig, normalerweise sollte sowas flott gehen, bin auch leider noch nicht so fit wie gewünscht in der Materie. Oft male ich mir auch einen Ereignisbaum dazu, das veranschaulicht dann noch einiges.
Kasen75 Auf diesen Beitrag antworten »

Ereignisbäume sind sehr gut. Wahrscheinlich auch für diese Art von Aufgaben. Aber meiner Meinung geht es bei diesen Aufgaben viel schneller mit Tafel.
Bin gespannt wie die ausgefüllte Tafel aussieht.
groebster Auf diesen Beitrag antworten »

Ähm ist das korrekt:

P(A-nicht und B) = P(A-nicht) * P(B|A)

-->EDIT: Habe mich vertan, kann nicht gehen! Es ist schon spät (Früh)^^
Kasen75 Auf diesen Beitrag antworten »

Leider nicht. Es ist auch viel zu kompliziert. Du hast ja schon P(B|A)=0,04. Für die Unabhängigkeit musst du nur zeigen, dass P(B) auch 0,04 ist.
Ich habe die Tabelle noch ein bisschen aufgefüllt. Wenn du die Tabelle vervollständigst, kommst du dann dann auf P(B)=0,04?

groebster Auf diesen Beitrag antworten »

Oh Gott sind es etwa ganz stupide Randhäufigkeiten die sich addieren, also zB. für P(B-nicht)=0,048+0,912=0,95 und für P(B)=1-0,95=0,05?

Wenn ja, ich habs echt nicht gesehen, mein Gehirn ist inzwischen gegrillt, ich habe die absurdesten Wege durchdacht.

Ich habe einen Baum gemalt, wäre nett wenn du ihn dir noch kurz anschaun würdest und ob es so korrekt ist. Mich stört der wert von P(B-nicht)=1,008 das kann ja nicht sein.

EDIT: Habe meine Fehler im Baum: Fälschlicherweise gelesen das P(B-nicht und A-nicht)=0,912 aber es ist ja ein oder und kein und
Kasen75 Auf diesen Beitrag antworten »

P(B) ist bei dir ja 0,04 (ganz oben, zweite Stufe). Also ist . Also stochastisch unabhängig.

ist 0,96 und nicht Somit ist Die Werte stimmen im Großen und Ganzen. Nur die Zuordnung nicht. Tafel ist wirklich einfacher:



Bei der Tafel musst du eigentlich nur addieren und subtrahieren. Braucht nur ein bisschen Übung.

Mit freundlichen Grüßen.
groebster Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für deine Mühe, habe doch was gelernt. Denke wenn man das ein paarmal macht sitzt das auch.

Viele Grüße
Kasen75 Auf diesen Beitrag antworten »

Sehe ich genauso. Gute Nacht .. äh Guten Morgen. Manchmal muss man sich durchbeißen und am Ende wird Alles gut. Ich fand die Aufgab Schläfer Schläfer
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