Matrix projiziert auf die Ebene..

28.06.2012, 13:21	dansibo	Auf diesen Beitrag antworten »
Matrix projiziert auf die Ebene.. Meine Frage: Hallo, habe hier eine Aufgabe aus der alten Klausur die ich nicht verstehe: Ebene: r=t1 * a1 + t2 * a2 mit a1 = $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , a2 = $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Projektionsmatrix: P Die Matrix projiziert auf die durch a1 a2 aufgespannte Ebene. a) Ermittlen Sie mit Hilfe eines lienaren Gelichungssystems alle Vektoren, die senkrecht auf der Ebene stehen. Das Gleichungssystem ist mit dem Gauß zu lösen. Stellen Sie die Lösungsmenge so dar, dass die geometrische Form erkennbar ist. b) Bestimmen Sie die Projektionsmatrix P in der Standardbasis e1, e2,e3 mit Hilfe der Pseudoinversen. Meine Ideen: Hier ein paar Gedanken: Die Projektionsmatrix kann man glaube ich mit der Formel : $\begin{eqnarray} UU^+ \end{eqnarray*}$ bestimmen. Also 2 Vektoren zu einer Matrix zusammenfassen und mal die transponierte nehmen dann mit Gauß die invertierte matrix U bekommen und wieder mit der Ut multiplizieren. Ich hoffe jemand kann mir helfen! Danke im Voraus !
29.06.2012, 09:34	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Die 3 Vektoren $\begin{eqnarray} \vec a_1, \vec a_2, \vec a_3 \end{eqnarray}$ bilden eine Basis des Raumes, wenn wir als 3. Vektor das Vektorprodukt $\begin{eqnarray} \vec a_3=\vec a_1 \times \vec a_2 \end{eqnarray}$ wählen, welches bekanntlich senkrecht auf $\begin{eqnarray} \vec a_1, \vec a_2 \end{eqnarray}$ steht. Projiziert man also irgendeine Linearkombination $\begin{eqnarray} \vec x=c_1\vec a_1+c_2\vec a_2+c_3\vec a_3 \end{eqnarray}$ auf die Ebene, fällt dabei der letzte Summand weg und man erhält den Bildvektor $\begin{eqnarray} \vec x'=c_1\vec a_1+c_2\vec a_2 \end{eqnarray}$ . Also lautet die Abbildung der Koordinaten bezüglich der Basis $\begin{eqnarray} \vec a_1, \vec a_2, \vec a_3 \end{eqnarray}$ wie folgt $\begin{eqnarray} \underbrace{\begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \\ 0 \end{pmatrix}}_{\vec c'}=\underbrace{\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}}_{\text{Abbildungsmatrix C}} \underbrace{\begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \end{pmatrix}}_{\vec c} \end{eqnarray}$ Wir suchen dieselbe Abbildung bezüglich der Standardbasis. Transformiere also diese Gleichung entsprechend. Benutze dabei die Tatsache, dass sich die Koordinaten kontragredient zu den Basisvektoren transformieren.

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