Numerische Differentiation und Differenzenquotienten

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Residium Auf diesen Beitrag antworten »
Numerische Differentiation und Differenzenquotienten
Angenommen wir wollen durch numerische Differentiation eine Ableitung von Funktion f an der Stelle x ausrechnen.
Wie ich verstanden habe, man konstruiert zuerst eine Entwicklung der Funktion f an der Stelle f(x+h) und bricht sie nach 2 Glieder ab, stellt es auf f'(x) um und bekommt den sog. Vorwärtsdifferenzenquotient. Analog bekommt man auch den Rückwertsdifferenzenquotient. Aus beiden kann man dann den sog. Zentralen Differenzenquotient bilden und dieser hat den Vorteil einer schnelleren Konvergenz.


Meine Frage :
1) Welche Voraussetzung soll eine Funktion f erfüllen, damit man den VorwärtsDifferenzenquotient auf diese Weise bilden kann? Mindestens 1-mal stetig diff-bar?
2) und welche Voraussetzung für Zentralen Differenzenquotient? Ich würde sagen - diesselbe wie für 1) ?
Heisst es, dass man den Vorwärts/Rückwärts-Differenzenquotient immer durch den Zentralen D-Quotient ersetzen kann?

Danke im voraus!
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Es kommt auf deinen Standpunkt an:

Willst du wissen, auf welche Funktionen man den Differenzenquotient anwenden kann?
Antwort: Auf alle Funktionen.

Willst du wissen, auf welche Funktionen man den Differenzenquotient sinnvoll anwenden kann?
Antwort: Auf differenzierbare Funktionen.

Willst du wissen, wie oft eine Funktione differenzierbar sein muss, damit man die Konvergenzresultate für die Differenzenquotienten anwenden kann?
Antwort: Zweimal stetig differenzierbar für den Vorwärt- bzw Rückwärtsdifferenzenquotient und dreimal stetig differenzierbar für den zentralen Differenzenquotient.

Beachte aber: In der Praxis taucht Auslöschung auf, das heisst man muss ein bischen aufpassen.
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