Skalar hoch Matrix lösen

30.06.2012, 15:47	TanoMitFrage	Auf diesen Beitrag antworten »
Skalar hoch Matrix lösen Ich möchte folgende Gleichung lösen: $\begin{eqnarray} A_d = e^{Aln(2)} \end{eqnarray}$ Dabei ist A eine regüläre Matrix. Mein Ansatz ist sie folgendermaßen umzuformen: $\begin{eqnarray} A_d = e^{Aln(2)} = (e^{ln(2)})^{A} = 2^{A} \end{eqnarray}$ Für $\begin{eqnarray} A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -2 & -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ löst mir Matlab die rechteste Seite der letzten Gleichung zu $\begin{eqnarray} A_d = \begin{pmatrix} 0.75 & 0.25 \\ -0.5 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Wie aber ist das definiert? Würde das gerne von Hand selber rechnen. Danke und Lg
30.06.2012, 16:10	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} e^A \end{eqnarray}$ ist für Matrizen wie für reelle Zahlen definiert: $\begin{eqnarray} e^A := \sum_{k=0}^\infty \frac{A^k}{k!} \end{eqnarray}$ Ist A diagonalisierbar (so in deinem Fall), so ist $\begin{eqnarray} A = TDT^{-1} \end{eqnarray}$ mit geeignetem T und diagonalem D. Dann ist $\begin{eqnarray} e^A = Te^DT^{-1} \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} e^D \end{eqnarray}$ ist leicht zu berechnen.
30.06.2012, 16:40	TanoMitFrage	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für deine Antwort und jawohl, ich stimme dir zu. Mit Eigenzerlegung kann ich folgende Umformungen machen: $\begin{eqnarray} A_d = e^{Aln(2)} = (e^{A})^{ln(2)} = (Te^{D}T^{-1})^{ln(2)} = (T* \begin{pmatrix} e^{d_1} & 0 \\ 0 & e^{d_2} \end{pmatrix}T^{-1})^{ln(2)} \end{eqnarray}$ Mit der Diagonalmatrix D, welche die Eigenwerte von A enhält sowie der Matrix T mit den Eigenvektoren. Im Falle meines "A"s ergibt sich damit: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}<br /> (2e^{-1} - e^{-2}) & (e^{-1} - e^{-2}) \\<br /> (2e^{-2} - 2e^{-1}) & (2e^{-2} - e^{-1})<br /> \end{pmatrix}^{ln(2)} \end{eqnarray}$ Soweit kann ich es händisch noch lösen. Aber nun? Oder übersehe ich etwas triviales? Es ließe sich so elegant lösen, wenn $\begin{eqnarray} 2^{A} \end{eqnarray}$ irgendwie definiert wäre (also ein Skalar andres als e hoch eine Matrix), aber ich finde diese Definition nirgendwo..
01.07.2012, 11:06	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Du musst das $\begin{eqnarray} \ln(2) \end{eqnarray}$ schon direkt in die Berechnung eingehen lassen, es ist dann $\begin{eqnarray} \ln(2)A = T(\ln(2)D)T^{-1} \end{eqnarray}$ (mit dem selben T, Mutliplikation mit einem Skalar ändert ja nichts an den Eigenvektoren). Das $\begin{eqnarray} \ln(2) \end{eqnarray}$ macht dann die Rechnung eigentlich nur angenehmer, weil ja $\begin{eqnarray} \ln(2)D = \begin{pmatrix} \ln \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \ln \frac{1}{4} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ist. Also besteht $\begin{eqnarray} e^{\ln(2)D} \end{eqnarray}$ sogar nur aus Diagonaleinträgen in $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ . Daher auch das Ergebnis nur mit Einträgen aus $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$
22.07.2012, 18:41	TanoGlücklich	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke dir! So ist es ziemlich straight forward.. (Bin in der Klausurvorbereitung nochmal darauf zurückgekommen. Daher die lange Pause )

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »