n-te Wurzel aus einer komplexen Zahl

01.07.2012, 00:06

--Gast--

n-te Wurzel aus einer komplexen Zahl

Hallo,

das ist die Formel für das radizieren der n-ten Wurzel einer komplexen Zahl.

Frage:

Woher weiß man wie groß das Argument $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ ist ?

$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{r}*[cos(\frac{\alpha }{n} )+k*\frac{2*\pi}{n}+i*sin(\frac{\alpha }{n}+k*\frac{2*\pi}n) ] \end{eqnarray*}$

01.07.2012, 00:25

original

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RE: Frage zu Formel

Zitat:

Original von --Gast--

das ist die Formel für das radizieren der n-ten Wurzel einer komplexen Zahl. a

Frage:

Woher weiß man wie groß das Argument $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ ist ?

also: z^n = a (...mit a in C)

|a|= r und alpha ist das Argument der gegebenen Zahl a

ok?

nebenbei:
bei der Formel, die du notiert hast, bist du etwas auf "Kriegsfuss" mit dem richtigen
Setzen von (Klammern) smile

01.07.2012, 00:26

Mystic

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RE: Frage zu Formel
Für z=x+iy ist der Winkel

$\begin{eqnarray*} \arctan(y/x) \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \arctan(y/x)+\pi \end{eqnarray*}$

je nachdem, in welchem Quadranten z liegt...

Edit: Zu langsam...

01.07.2012, 00:43

--Gast--

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Danke

Jo, sollte so heißen Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{r}*[cos(\frac{\alpha }{n} +k*\frac{2*\pi}{n})+i*sin(\frac{\alpha }{n}+k*\frac{2*\pi}n) ] \end{eqnarray*}$

Das mit dem $\begin{eqnarray*} arctan (y/x) \end{eqnarray*}$ habe ich verstanden smile

Das erklärt auch mein Problem mit dem $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ im anderen Beitrag smile

01.07.2012, 16:20

--Gast--

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Mir ist noch eine Frage eingefallen.

$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{r}*[cos(\frac{\alpha }{n} +k*\frac{2*\pi}{n})+i*sin(\frac{\alpha }{n}+k*\frac{2*\pi}n) ] \end{eqnarray*}$

bei $\begin{eqnarray*} z^4=-6 \end{eqnarray*}$

-6 ist im 2ten Quadranten warum muss man dann nicht noch + $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ machen ?

Ich mein so :

$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{r}*[cos(\frac{\pi}{n} +k*\frac{2*\pi}{n})+i*sin(%) ] \end{eqnarray*}$

anstelle von :

$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{r}*[cos(\pi+\frac{\pi}{n} +k*\frac{2*\pi}{n})+i*sin(%) ] \end{eqnarray*}$

01.07.2012, 16:24

Mystic

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Zitat:

Original von --Gast--
bei $\begin{eqnarray*} z^4=-6 \end{eqnarray*}$

-6 ist im 2ten Quadranten warum muss man dann nicht noch + $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ machen ?

Es geht ja nicht um $\begin{eqnarray*} z^4 \end{eqnarray*}$ , sondern um z selber...

01.07.2012, 16:58

--Gast--

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Ist das im ersten Quadranten ?

$\begin{eqnarray*} z=\sqrt{-6}=\sqrt{-1}*\sqrt{6} =i*\sqrt{6} \end{eqnarray*}$

01.07.2012, 17:42

Mystic

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És geht hier um die 4.Wurzel, nicht die Quadratwurzel, d.h., du musst nochmals die Wurzel ziehen und das liegt dann zweifelsfrei im 1.Quadranten (genauer geht es hier um den sog. Hauptwert)...

01.07.2012, 18:06

--Gast--

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$\begin{eqnarray*} z= \sqrt[4]{6} \end{eqnarray*}$

Hm ...

Ich habe das Problem nur, wenn nur ein reeller Teil oder nur ein imaginärer Teil gegeben ist.

Habe ich beides so kann man einfach arctan benutzen.

Also bei folgenden Aufgaben:

Ich soll die n-ten Wurzeln der folgenden komplexen Zahlen angeben und diese in der Gaußschen Zahlenebene darstellen:

a) $\begin{eqnarray*} z=-6 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} (n=4) \end{eqnarray*}$

b) $\begin{eqnarray*} z=8i \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} (n=3) \end{eqnarray*}$

c) $\begin{eqnarray*} z=-2+2i \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} (n=3) \end{eqnarray*}$

d) $\begin{eqnarray*} z=5+8i \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} (n=5) \end{eqnarray*}$

Konnte ich bei folgender Formel nur bei a) und b) $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ nicht bestimmen:

$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{r}*[cos(\frac{\alpha }{n} +k*\frac{2*\pi}{n})+i*sin(\frac{\alpha }{n}+k*\frac{2*\pi}n) ] \end{eqnarray*}$

Bei c) habe ich geschaut in welchem Quadranten es liegt (2ter) und mit $\begin{eqnarray*} \pi+arctan(-2/2) \end{eqnarray*}$ den Winkel $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ bestimmt.

Bei d) genau das selbe.

01.07.2012, 18:17

--Gast--

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Hier habe ich die Frage in gekürzter Version:

Zitat:

Original von Mystic
És geht hier um die 4.Wurzel, nicht die Quadratwurzel, d.h., du musst nochmals die Wurzel ziehen und das liegt dann zweifelsfrei im 1.Quadranten (genauer geht es hier um den sog. Hauptwert)...

Wie kommt man hier auf $\begin{eqnarray*} \alpha=\pi \end{eqnarray*}$ , wenn der Hauptwert im 1.Quadranten liegt der bis max. 90° geht ?

01.07.2012, 19:13

original

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Zitat:

Original von --Gast--

Ich soll die n-ten Wurzeln der folgenden komplexen Zahlen angeben und diese in der Gaußschen Zahlenebene darstellen:

a) $\begin{eqnarray*} z=-6 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} (n=4) \end{eqnarray*}$

b) $\begin{eqnarray*} z=8i \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} (n=3) \end{eqnarray*}$

c) $\begin{eqnarray*} z=-2+2i \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} (n=3) \end{eqnarray*}$

d) $\begin{eqnarray*} z=5+8i \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} (n=5) \end{eqnarray*}$

Konnte ich $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ nicht bestimmen..

Mann ... es ist doch so einfach einfach so:

du zeichnest dir eine Überlegungsfigur und trägst die gegebenen Werte -6, 8i, -2+2i, 5+8i
als Punkte (-6,0); 0,8); (-2,2) (5,8) in der Gaussebene ein..

dann siehst du entweder sofort, welcher Winkel dazugehört 180° ; 90° ; 135° oder
du siehst , der Cosinuswert ist +5 und der Sinuswert +8 ... und aus
diesen beiden Winkelfunktionen kannst du den Winkel immer eindeutig ermitteln. Wink

01.07.2012, 20:23

--Gast--

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Oje, habe meinen Denkfehler gefunden.

(ist wirklich einfach smile

)

Wenn, ich bei -6 meine meine 180° ablese muss ich natürlich nicht mehr $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ draufrechnen ist nur bei arctan nötig Hammer

Danke hat mir geholfen smile

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