Beispiel einer abstandstreuen, nicht surjekiven, nicht linearen Abbildung

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Lordi Auf diesen Beitrag antworten »
Beispiel einer abstandstreuen, nicht surjekiven, nicht linearen Abbildung
Gesucht ist ein Beispiel einer nicht linearen Abbildung T:V->V, wobei V ein reeller normierter Vektorraum ist. T soll außerdem abstandstreu und nicht surjektiv sein.


Ich habe leider wenig eigene Ideen vorzuweisen, da wir uns in der Vorlesung praktisch ausschließlich mit linearen Abbildungen befasst haben, und es mir schwer fällt, mir überhaupt nichtlineare auszudenken, denen man es nicht gleich ansieht, dass sie keinesfalls abstandstreu sind.
Hat jemand einen Tipp für mich?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Schau dir mal für festes die Abbildung an.

Deine letzte Aufgabe ist zu erkennen, wie du und wählen kannst, damit alle gewünschten Bedingungen der Aufgabe erfüllt sind.
Lordi Auf diesen Beitrag antworten »

Wählt man (wobei C als R-Vektorraum aufgefasst wird) und , ist T nicht linear, denn dann ist z.B.



Offenbar ist T auch nicht surjektiv.
Nun stellt sich die Frage, ob T abstandstreu ist... rein geometrisch gesehen müsste das eigentlich so sein, da Multiplikation mit i ja einer 90°-Drehung entspricht, und wenn man zwei Vektoren um 90° dreht, ändert sich ja ihr Abstand nicht. Richtig?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das ist richtig.

Wichtig für die Nicht-Surjektivität ist einfach nur, dass V Dimension mind. 2 hat.

Die Abstandstreue ergibt sich natürlich genau dann, wenn ist.

Das kann man ganz einfach nachrechnen.
Lordi Auf diesen Beitrag antworten »

Gut, vielen Dank für die Hilfe! smile
Lordi Auf diesen Beitrag antworten »

Ich versuche gerade, die Abstandstreue konkret nachzurechnen, aber mir will das nicht so recht gelingen...

Wenn lediglich sein muss, kann man ja einfach wählen. Das mache ich jetzt mal der Einfachheit halber. Dann wäre zu zeigen:



Wenn man mal die euklidische Norm in C betrachtet, bedeutet dies



Da , wobei v* das komplex Konjugierte von v bezeichne, kann man dies umschreiben zu



Das ist doch im Allgemeinen nicht dasselbe...? Wo verrechne ich mich da?
 
 
Lordi Auf diesen Beitrag antworten »

Ich meinte natürlich . Aber da ich ja die Beträge dann korrekt ausgerechnet habe, ändert das nichts.
Weiß denn keiner, wo ich da einen Fehler in der Rechnung gemacht hab?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast gar nichts falsch gemacht. Ich dachte nur die Abb. müsste nur normerhaltend und nicht wirklich im üblichen Sinn abstandstreu (bei. lin. Abbildungen ja äquivalent) sein.
Lordi Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, die genaue Aufgabenstellung lautet wie folgt:

Sei V ein reeller normierter Raum und T:V->V sei eine surjektive, abstandstreue Abbildung, d.h. es gilt für alle mit [latex]T(0)=0. Dann ist T linear.

Geben Sie ein Beispiel dafür an, dass diese Aussage i.A. nicht richtig ist, wenn T nicht surjektiv ist.


Also ist eigentlich nicht vorausgesetzt, dass T normerhaltend ist, oder?
Lordi Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry fürs Drängeln, aber hat denn keiner ne Idee...?
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