Kann es eine bijektive Abbildung Rn nach Rm für n =/= m geben?

01.07.2012, 15:16

Schnuffel001

Kann es eine bijektive Abbildung Rn nach Rm für n =/= m geben?

Meine Frage:
Ich hadere gerade etwas mit einer Theoriefrage.

Kann es eine bijektive Abbildung R^n --> R^m für n =/= m geben?
Begründung?

Meine Ideen:
Ich weiß nicht wo ich da ansetzen soll. Bijektiv heißt ja soweit ich das Verstanden habe, dass eine Element aus dem Wertebereich genau ein Element aus dem Ursprungsbereich zugeordnet wird. Demnach müsste es doch durchaus eine bijektive Abbildung R^n --> R^m für n < m geben.

z.b.

(x_1, x_2) --> (x_1, x_2, 0) ??

oder ist das nicht bijektiv?

01.07.2012, 16:02

Lordi

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Ich nehme an, wir reden von linearen Abbildungen? Eine bijektive lineare Abbildung ist ein Isomorphismus, und wenn ein Isomorphismus zwischen zwei Vektorräumen existiert, so haben diese gleiche Dimension. (es gilt sogar Äquivalenz: Es gibt einen Isomorphismus zwischen zwei Vektorräumen genau dann, wenn sie gleiche Dimension haben).

Deine Abbildung ist nicht bijektiv, da sie nicht surjektiv ist. Elemente der Form (0,0,z) werden i.A. nicht als Werte erreicht. (außer für z=0).

01.07.2012, 16:12

Schnuffel001

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also ist die minale voraussetzung für eine bijektive lineare abbildung, dass beide die gleiche Dimension haben. bei n =/= ist dies nicht der Fall, also kann es keine bijektive l. Abbildung geben.

Aber wie kann ich eine Abbildung formal darauf prüfen ob sie bijektiv ist?
Sagen wir, wir hätten eine Abbildung

f: V1 ---> V2

$\begin{eqnarray*} x_1,x_2 \end{eqnarray*}$ als Element von V1

$\begin{eqnarray*} <br /> f(x1 + x2) = f(x1) + f(x2)<br /> f(\alpha x_1) --> \alpha f( x_1) <br /> \end{eqnarray*}$

aber das erscheint mir zu wenig. Das sind ja nur die Bedingungen für eine lineare Abbildung. Was muss bei einer Bijektiven Abbildung zusätzlich noch gelten?

01.07.2012, 16:30

Iorek

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Zitat:

Original von Schnuffel001
Was muss bei einer Bijektiven Abbildung zusätzlich noch gelten?

Sie muss eben bijektiv sprich: injektiv und surjektiv sein, dafür gibt es eine eigene Definition und Methoden das zu überprüfen.

01.07.2012, 16:38

Schnuffel001

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Gut, ich habs nachgeschaut. Falls jemand mal diesen Thread findet und es wissen will (nicht nervt mehr als unvollständige Threads):

Injektivität:
f(x) = f(y) => x = y

Surjektivität:
heißt surjektiv, wenn für alle y aus V2 mindestens ein x aus V1 mit f(x) = y existiert.

Plus eben die Bedingungen für eine lineare Abbildung.

Korrigiert mich falls noch etwas fehlen sollte.

01.07.2012, 16:43

Iorek

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Da fehlt nichts mehr. Augenzwinkern

Injektivität/Surjektivität/Bijektivität sind Eigenschaften, die alle Arten von Abbildungen aufweisen können, die Begriffe sind also nicht auf lineare Abbildungen bzw. allgemeiner Homomorphismen beschränkt.

02.07.2012, 09:35

jester.

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Nur um das klarzustellen, da im ersten Beitrag einfach von "R" die Rede ist: geht es um den Körper der reellen Zahlen und Vektorräumen darüber? Falls dem nicht so ist und R für einen beliebigen Ring steht, so findet man ohne viel Mühe ein Beispiel, in dem man eine bijektive R-lineare Abbildung zwischen R und R^4 hat.

02.07.2012, 16:26

Schnuffel001

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mit R sind wohl die reelen Zahlen gemeint.

Zitat:

Falls dem nicht so ist und R für einen beliebigen Ring steht, so findet man ohne viel Mühe ein Beispiel, in dem man eine bijektive R-lineare Abbildung zwischen R und R^4 hat.

Wir habe bisher noch mit nichts außer R = reele Zahlen gearbeitet. Aber welche Beispiele gäbe es denn in beliebigen Ringen? (rein aus Interesse)

02.07.2012, 18:03

jester.

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Es gibt viele Klassen von Ringen (z.B. kommutativ, Noethersch, Artinsch), die die Eigenschaft $\begin{eqnarray*} R^n \cong R^m \Rightarrow n=m \end{eqnarray*}$ erfüllen. Diese Eigenschaft nennt sich auch Invariant Basis Number Property (IBN), eine Google-Suche dazu ist bestimmt ergiebig.

Einen Ring, der diese Eigenschaft nicht hat, findet man beispielsweise wie folgt. Sei $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ein Vektorraum mit einer abzählbar unendlichen Basis. Dann ist $\begin{eqnarray*} V\oplus V \cong V \end{eqnarray*}$ (im Prinzip so, wie man eine Bijektion zwischen $\begin{eqnarray*} \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb{N}\times \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ herstellt).
Dann ist aber $\begin{eqnarray*} R:=\mathrm{End}(V) \cong \mathrm{End}(V\oplus V) \cong R^{2\times 2} \cong R^4 \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ -Moduln.

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