Tensorprodukt Matrizen

02.07.2012, 23:45

h4mmer

Tensorprodukt Matrizen

Guten Abend zusammen,

Ich habe folgende Matrizen $\begin{eqnarray*} A,B \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ gegeben und soll die Matriz $\begin{eqnarray*} A \otimes B \end{eqnarray*}$ bezüglich einer geeigeneten Basis finden.

$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\2 & -1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} B=\begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 3 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Meine Idee:

Also zunächst habe ich

$\begin{eqnarray*} \phi: \mathbb Q^2 \to \mathbb Q^3, x \to xA \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \psi: \mathbb Q^2 \to \mathbb Q^2, x \to xB \end{eqnarray*}$

gewählt.

Nun muss ich ja eine Basis wählen. Und hier hänge ich. Nach dem Aussehen der Matrizen müsste ich meiner Meinung eine Basis von $\begin{eqnarray*} \mathbb Q^2 \otimes \mathbb Q^3 \end{eqnarray*}$ wählen.
Für $\begin{eqnarray*} d_1=(1,0), d_2=(0,1), e_1=(1,0,0),e_2=(0,1,0),e_3=(0,0,1) \end{eqnarray*}$ würde als Basis folgen:

$\begin{eqnarray*} d_1\otimes e_1,d_1\otimes e_2,d_1\otimes e_3,d_2\otimes e_1,d_2\otimes e_2,d_2\otimes e_3 \end{eqnarray*}$

Wenn ich jetzt aber versuche, $\begin{eqnarray*} T(\phi ,\psi )(d_1\otimes e_2)=\phi (d_1) \otimes \psi (e_2) \end{eqnarray*}$ zu berechnen, scheitere ich an der Multiplikation einer 1x3 mit einer 2x3 Matrize.

Ich fürchte, ich habe hier etwas gründlich missverstanden.

Würde mich über Hilfe sehr freuen, Gruß h4mmer.

** Hab mir erlaubt deinen zweiten exakt gleichen Beitrag mit der missglückten Überschrift zu löschen. (Helferlein) **

02.07.2012, 23:47

h4mmer

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Edit: Entschuldigt bitte, hier ist einiges schiefgelaufen unglücklich

Zuerst einmal hatte ich den Titel vergessen, bitte entschuldigt den Doppelpost.

Ausserdem gehört das in die Hochschulmathematik.

Bitte nochmals um entschuldigung, ist schon ein bisschen spät.

03.07.2012, 00:09

h4mmer

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Bist du dir da sicher?

Für $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb Q^3:a\cdot A=(a_1,a_2,a_3)\cdot A \end{eqnarray*}$ kann ich doch nicht rechnen oder?

03.07.2012, 00:17

Bernhard1

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RE: Tensorprodukt Matrizen

Zitat:

Original von h4mmer
Wenn ich jetzt aber versuche, $\begin{eqnarray*} T(\phi ,\psi )(d_1\otimes e_2)=\phi (d_1) \otimes \psi (e_2) \end{eqnarray*}$ zu berechnen, scheitere ich an der Multiplikation einer 1x3 mit einer 2x3 Matrize.

Zuerst ist $\begin{eqnarray*} \psi (e_2) \end{eqnarray*}$ ein zweidimensionaler Vektor, also eine 1x2-Matrix. Danach werden nicht zwei Matrizen multipliziert, sondern es muss das Tensorprodukt von zwei Vektoren berechnet werden.

03.07.2012, 00:19

Bernhard1

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Zitat:

Original von h4mmer
Bist du dir da sicher?

Bin von der Matrizenmultiplikation von der anderen Seite (A*x) ausgegangen. Bitte entschuldige.

03.07.2012, 00:28

h4mmer

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RE: Tensorprodukt Matrizen
Naja, $\begin{eqnarray*} \psi(e_2)=e_2B=(0,1,0) \cdot \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 3 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dann wirds schwierig.

Ich werde mich morgen nochmal mit dieser Aufgabe beschöfigen.

Ich danke dir für deine Mühe smile

Gute nacht Wink

03.07.2012, 00:38

Bernhard1

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Zitat:

Original von h4mmer
Naja, $\begin{eqnarray*} \psi(e_2)=e_2B=(0,1,0) \cdot \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 3 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Da ist schon was verkehrt, weil das keine Matrizenmultiplikation mehr ist. Ich müsste mir aber erst den Wikipedia-Artikel zum Tensorprodukt nochmal genauer ansehen. Aber nicht mehr heute.

Gute Nacht.

03.07.2012, 08:58

Bernhard1

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Zitat:

Du verwendest hier eine falsche Definition des Tensorproduktes, weil $\begin{eqnarray*} \psi \end{eqnarray*}$ gemäß Vorgabe von $\begin{eqnarray*} \mathbb Q^2 \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \mathbb Q^3 \end{eqnarray*}$ abbildet. Ein $\begin{eqnarray*} \psi (e_2) \end{eqnarray*}$ macht also schon mal keinen Sinn. Das gesuchte Tensorprodukt definiert eine lineare Abbildung von $\begin{eqnarray*} \mathbb Q^2 \otimes \mathbb Q^2 \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \mathbb Q^3 \otimes \mathbb Q^2 \end{eqnarray*}$ .

03.07.2012, 12:31

h4mmer

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Hallo Telefonmann1,

Ich wähle also $\begin{eqnarray*} d_1\otimes d_1,d_1\otimes d_2,d_2\otimes d_1,d_2\otimes d_2 \end{eqnarray*}$ als Basis von $\begin{eqnarray*} \mathbb Q^2 \otimes \mathbb Q \end{eqnarray*}$ .

Und $\begin{eqnarray*} e_1\otimes d_1, e_1\otimes d_2,e_2\otimes d_1,e_2\otimes d_2,e_3\otimes d_1,e_3\otimes d_2 \end{eqnarray*}$ Als Basis des Bildraumes.

Dann berechne ich:

$\begin{eqnarray*} T(\phi,\psi )(d_1,d_1)=\phi (d_1) \otimes \psi (d_1)=(1,0,-1)\otimes (-2,1)=(e_1-e_3)\otimes (-2d_1+d_2)=e_1\otimes -2d_1+e_1\otimes d_2-e_3\otimes -2d_1-e_3 \otimes d_2 \end{eqnarray*}$

Daraus würde dann meine erste Spalte der Lösungsmatrix folgen:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Gruß, h4mmer

03.07.2012, 15:56

Bernhard1

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Das passt soweit. Die Koordinatendarstellung von T ergibt dann insgesamt eine 6x4-Matrix. Die restlichen drei Spalten gehen analog zur Ersten.

03.07.2012, 16:00

h4mmer

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Ich danke dir für deine Super Hilfe smile

Eine Frage habe ich noch.

Kann ich Skalare aus einem Tensorprodukt herausziehen? (Habe ich jetzt automatisch gemacht, war mir da aber nicht sicher)

Danke nochmal, Gruß h4mmer

03.07.2012, 16:05

Bernhard1

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Zitat:

Original von h4mmer
Kann ich Skalare aus einem Tensorprodukt herausziehen?

Bei reellen Vektorräumen (wie hier) geht das natürlich, weil die Multiplikation dort kommutativ ist. Siehe auch die Definition des dyadischen Produktes.

03.07.2012, 16:50

Bernhard1

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Hallo h4mmer,

ich frage mich abschließend, ob man hier nicht auch wesentlich leichter ein Ergebnis hätte ableiten können. Der Raum aller linearen Abbildungen:

$\begin{eqnarray*} \phi: \mathbb Q^2 \to \mathbb Q^3, x \to xA \end{eqnarray*}$

ist schließlich isomorph zum R^6 und

$\begin{eqnarray*} \psi: \mathbb Q^2 \to \mathbb Q^2, x \to xB \end{eqnarray*}$

ist isomorph zu R^4 . In beiden Vektorräumen hat man die Standardbasis und bezüglich dieser zwei Basen könnte man das Tensorprodukt $\begin{eqnarray*} A \otimes B \end{eqnarray*}$ deutlich schneller ausrechnen, weil man dabei unmittelbar das dyadische Produkt verwenden kann.

Welche Basis letztlich "geeigneter" im Sinne der Aufgabe ist, ist allerdings ohne weitere Angaben Ansichtssache.

03.07.2012, 16:52

h4mmer

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Danke nochmals für deine Hilfe,

Wir haben das dynamische Produkt (so weit ich weiß) (noch?) nicht behandelt.

Ich denke schon, dass ich die Aufgabe so lösen sollte smile

03.07.2012, 16:55

h4mmer

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Das dyadische Produkt meine ich natürlich Augenzwinkern

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