Tangentialebene

05.07.2012, 15:19

Blaaaaa

Tangentialebene

Hallo,

Ich habe die folgende Aufgabe (siehe Anhang) schon gefühlte 1000mal probiert aber komme einfach auf keine vernüftige Lösung (oder hab diese einfach nicht erkannt).
Ich bin mit dem Lösen von Tangentialebenen vertraut aber irgendwas stimmt bei dieser Funktion einfach nicht.

Könnte das vllt. mal bitte einer vorrechnen, damit ich eine Lösung dafür habe? Wäre sehr nett!

05.07.2012, 18:54

Cel

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RE: Tangential Ebene

Zitat:

Original von Blaaaaa
Könnte das vllt. mal bitte einer vorrechnen, damit ich eine Lösung dafür habe? Wäre sehr nett!

Nee, das machen wir nicht. Aber ich kann dir meinen Artikel über den Satz über implizte Funktionen empfehlen: [Artikel] Der Satz über implizite Funktionen

Die Tangentialebene ist das erste Taylorpolynom.

06.07.2012, 10:16

Blaaaaa

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Das Problem ist die Umstellung der Gleichung.
Da z = f(x,y) ist, müsste man die Gleichung irgenddwie nach z = ... umstellen aber das macht Probleme.
Das z aus der Gleichung zu lösen und dann einzeln auf einer Seite zu haben klappt einfach nicht verwirrt

06.07.2012, 14:41

Ehos

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@Cel
Ich bezweifle, dass der Fragesteller deine tiefschürfende Expertise über angeblich "zentrale Sätze der Analysis" liest. Antworte ihm doch konkret und so einfach wie möglich.

@Blaaaaa
Hätte man eine explizite Funktion z(x,y) könnte man die Tangenvektoren $\begin{eqnarray*} (1|0|\tfrac{dz}{dx}) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (0|1|\tfrac{dz}{dy}) \end{eqnarray*}$ , welche die Tangentialebene aufspannen, sofort berechnen. Deine Gleichung kann man aber nicht formelmäßig nach z=z(x,y) umstellen. Trotzdem lassen sich die benötigten Ableitungen $\begin{eqnarray*} \tfrac{dz}{dx} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \tfrac{dz}{dy} \end{eqnarray*}$ durch folgende Überlegung bestimmen: Stelle deine Gleichung um zu $\begin{eqnarray*} 0=e^z+y+xz-1 \end{eqnarray*}$ und betrachte die rechte Seite als Funktion f(x,y,z), worin man z(x,y) wiederum als "innere" Funktion behandelt, also

$\begin{eqnarray*} 0=f[x,y,z(x,y)]=e^{z(x,y)}+y+x\cdot z(x,y) \end{eqnarray*}$ .

Diese Gleichung leitet man nach x und y ab. Rein formal erhält man mit der Ketteregel

$\begin{eqnarray*} 0=\tfrac{df}{dx}=\tfrac{\partial f}{\partial x}+\tfrac{\partial f}{\partial z}\tfrac{dz}{dx} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=\tfrac{df}{dy} \tfrac{\partial f}{\partial y}+\tfrac{\partial f}{\partial z}\tfrac{dz}{dy} \end{eqnarray*}$

Setzt man in deine Gleichung $\begin{eqnarray*} 1=e^z+y+xz \end{eqnarray*}$ den gegebenen Punkt (x|y)=(0|0) ein, folgt dort $\begin{eqnarray*} 1=e^z \end{eqnarray*}$ und somit z=0. Einsetzen von (x|y|z)=(0|0|0) in die beiden oben berechneten Ableitungen liefert

[...]

Damit kann man die o.g. Tangentialvektoren an der Stelle (0|0|0) angeben.

Edit (Cel): Ich habe mal wieder einige Teile deiner Fast-Komplettlösung wegeditiert ...

20.08.2012, 12:51

Blaaaaa

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Also ich verstehe gerade nicht wirklich, wie man das abzuleiten hat?

Also wie man z bestimmt ist nun klar und das man in der Gleichung bei z dann (x,y) einsetzt auch aber die Ableitung?!

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