Stetigkeit Implizite Funktionen

05.07.2012, 20:45

Matheversteher

Stetigkeit Implizite Funktionen

hallo alle zusammen smile

ich sitze wiedermal an einer implizieten funktion und soll diese auf stetigkeit hin untersuchen.

$\begin{eqnarray*} f(x,y)\begin{cases}\frac{xy }{\sqrt{x^2+y^2} } \text{ falls } x^2+y^2\neq 0\\ 0 \text{ sonst.}\end{cases} \end{eqnarray*}$

ich habe jetz zum beispiel die möglichkeit wieder die polarkoordinaten zu verwenden: $\begin{eqnarray*} x =r \cdot \cos{\phi} \text{ und } y= r \cdot \sin{\phi} \end{eqnarray*}$ zu setzen. dann habe ich: $\begin{eqnarray*} f(r, \phi)= \frac{r^2\cdot\cos{\phi}\sin{\phi}}{r} = \frac{1}{2}\cdot r \cdot \sin{2\phi} \end{eqnarray*}$ .
$\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$ dies wäre jetzt für $\begin{eqnarray*} \lim_{r\to 0}=0 \end{eqnarray*}$ stetig. (ist das richtig, muss ich hier den radius betrachten? denn wenn ich $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ betrachten müsste weis ich nicht weiter, wie es dann gehen soll.)

außerdem frage ich mich:
- wie berechne ich denn die stetigkeit dieser (und anderer impliziter funktionen), wenn ich die polarkoordinaten nicht einsetze? dann hätte ich ja x und y.
und
- wie berechne ich den limes für x und y? zum beispiel $\begin{eqnarray*} \lim_{x,y \to 0,0} \end{eqnarray*}$ . die wohl einfachste möglichkeit wäre es, x oder y ersteinmal "fest" zu lassen und nur eine variable zu betrachten. doch wie lasse ich x und y gleichzeitig gegen null laufen? verwirrt

ich hoffe das sind nicht allzu viele fragen auf einmal und mir kann jemand erklären, wie ich die stetigkeit richtig berechne smile

ich danke euch!

05.07.2012, 21:46

Zizou66

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RE: Stetigkeit Implizite Funktionen

Zitat:

Original von Matheversteher
(ist das richtig, muss ich hier den radius betrachten? denn wenn ich $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ betrachten müsste weis ich nicht weiter, wie es dann gehen soll.)

außerdem frage ich mich:
- wie berechne ich denn die stetigkeit dieser (und anderer impliziter funktionen), wenn ich die polarkoordinaten nicht einsetze? dann hätte ich ja x und y.

Es ist richtig, dass du den Radius betrachtest. Was du machst ist letztlich, dass du einen Kreis mit Radius r um die zu untersuchende Stelle legst und dann den Radius gegen null gehen lässt. Nun muss die Funktion in diesem Bereich liegen, da es im zweidimensionalen keinen Ausweg aus einem Kreis gibt.
So jedenfalls wurde uns das anschaulich nahe gebracht und wenn man es sich so überlegt weiß man auch so ungefähr, was man da gerade tut Augenzwinkern

Wenn du zeigen willst, dass eine Funktion stetig ist, musst du meines wissens nach immer über die Polarkoordinaten gehen.
Wenn du das Gefühl hast, dass die Funktion nicht stetig ist, kannst du das jedoch auf ziemlich viele Wege zeigen...

05.07.2012, 21:59

Matheversteher

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Zitat:

Original von Zizou66
Wenn du zeigen willst, dass eine Funktion stetig ist, musst du meines wissens nach immer über die Polarkoordinaten gehen. Wenn du das Gefühl hast, dass die Funktion nicht stetig ist, kannst du das jedoch auf ziemlich viele Wege zeigen...

alles klar danke schön smile

zur stetigkeit direkt eine weitere frage, $\begin{eqnarray*} x, y, x^2,y^2 \end{eqnarray*}$ sowie die wurzelfunktion sind stetige funktionen, kann ich dann auch sagen, dass die komposition stetiger funktion auch stetig ist? verwirrt

falls die funktionen wirklich alle stetig sind.

und dementsprechend gehe ich dann davon aus, dass ich für

Zitat:

- wie berechne ich den limes für x und y? zum beispiel . die wohl einfachste möglichkeit wäre es, x oder y ersteinmal "fest" zu lassen und nur eine variable zu betrachten. doch wie lasse ich x und y gleichzeitig gegen null laufen?

auch polarkoordinaten verwenden muss?

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