Matrizen Beweis einer Gleichung

06.07.2012, 19:05	Christian_P	Auf diesen Beitrag antworten »
Matrizen Beweis einer Gleichung Edit (mY+): Matrix --> Matrizen Hi Leute, ich brauch mal kurz einen Tipp, weil mir der Ansatz nicht ganz klar ist.: Das möchte ich beweisen: $\begin{eqnarray} (A^{-1})^T=(A^T)^{-1} \end{eqnarray}$ ich komme leider auf keinen Ansatz. lg
06.07.2012, 19:18	DP1996	Auf diesen Beitrag antworten »
Du kannst dir mal übleregen, ob denn $\begin{eqnarray} (A^{-1})^T \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} ((A^T)^{-1})^{-1}=A^T \end{eqnarray}$ zueinander invers sind.
06.07.2012, 19:33	Christian_P	Auf diesen Beitrag antworten »
scheinbar schon, denn $\begin{eqnarray} ((A^{-1})^T\text{ ist invers zu }(A)^T)\Leftrightarrow( A^{-1}\text{ ist invers zu }A) \end{eqnarray}$ was kann ich dann damit machen? lg
06.07.2012, 19:42	DP1996	Auf diesen Beitrag antworten »
Formal kann man auch sagen, dass allgemein gilt: $\begin{eqnarray} (AB)^T=B^T A^T \end{eqnarray}$ (lässt sich mit der Definition des Matrizenprodukts zeigen, ist aber eher unschön). Dann sage ich dir noch, dass die Inversen eindeutig bestimmt sind.
06.07.2012, 20:09	Christian_P	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich kann die Informationen nicht richtig zusammenbringen. Mir ist das Verfahren nicht ganz klar. Kann ich die obige Gleichung nicht von links Schritt für Schritt umformen, sodass ich rechts lande? lg
06.07.2012, 20:13	DP1996	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich sehe keinen Weg, wie man das nur durch Umformungen bewerkstelligen könnte. Mein Gedanke war folgender: $\begin{eqnarray} A^T \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (A^T)^{-1} \end{eqnarray}$ sind invers zueinander. Außerdem sind wie du andeutungsweise gezeigt hast, $\begin{eqnarray} A^T \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (A^{-1})^T \end{eqnarray}$ invers zueinander. Auf der anderen Seite kann ein Element aber auch nur ein Inverses haben, also... ?
Anzeige

06.07.2012, 20:24	Christian_P	Auf diesen Beitrag antworten »
also müssen die Inversen gleich sein? definitionsgemäß? Wie in einer Gruppe, Körper, o.ä. tolle Aurgumentation wenn das so geht!
06.07.2012, 20:28	DP1996	Auf diesen Beitrag antworten »
Jip. Nicht definitionsgemäß, aber die Eindeutigkeit der Inversen gilt allgemein in Gruppen. Da drängt sich mir grad ganz unvermittelt die Frage auf, ob dein A eigentlich quadratische Matrix ist und ob das eine Rolle spielt...
06.07.2012, 20:32	Christian_P	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Operationen Inversenbildung und Transposition müssen ausführbar sein, dass heißt, A ist (m x m) Matrix. lg
06.07.2012, 20:38	DP1996	Auf diesen Beitrag antworten »
Dummerweise gibt es halt auch inverse für nichtquadratische Matrizen, da sind halt dann links- und rechtsinverse Elemente voneinander zu unterscheiden (und transponieren lässt sich jede Matrix). Aber ich denke auch, dass quadratische Matrizen gemeint sind. Ich les auch grad, dass die Schreibweise $\begin{eqnarray} a^{-1} \end{eqnarray}$ normalerweise nur dann in multiplikativen Gruppen verwendet wird, wenn links- und rechtsseitige Inverse zusammenfallen. Also wieder was gelernt.
06.07.2012, 21:00	Christian_P	Auf diesen Beitrag antworten »
schön, dass ich dir auch noch was beibringen konnte! danke für die Hilfe!
07.07.2012, 08:52	DP1996	Auf diesen Beitrag antworten »
Gern geschehen!

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »