Wie zeigt man, dass ähnliche Matrizen die gleichen Eigenwerte haben?

07.07.2012, 13:45

Schnuffel001

Wie zeigt man, dass ähnliche Matrizen die gleichen Eigenwerte haben?

Meine Frage:
Frage steht ja im Titel.

Meine Ideen:
B heißt ja ähnlich zu A wenn :

$\begin{eqnarray*} T \cdot A \cdot T^{-1} = B \end{eqnarray*}$

Zu den Eigenwerten komme ich

$\begin{eqnarray*} L: V --> V x ---> \lambda x \end{eqnarray*}$

dann ist $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ der Eigenwert der linearen Abbildung.

Aber wie bringe ich das nun in Einklang, so dass ich Beweisen kann, dass Ähnliche Matrizen die gleichen Eigenwerte haben?
Wie kann ich überhaupt pauschal sagen, dass die Eigenwerte von A und B gleich sind ohne dass ich eine lineare Abbildung betrachte?

07.07.2012, 13:52

Schnuffel001

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RE: Wie zeigt man, dass ähnliche Matrizen die gleichen Eigenwerte haben?
kann es damit zusammenhänge, dass ähnliche Matrizen das gleiche charakteristische Polynom haben? Demnach müssten ja auch die Lösungen des Polynoms (die Eigenwerte) gleich sein?

07.07.2012, 13:55

Iorek

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RE: Wie zeigt man, dass ähnliche Matrizen die gleichen Eigenwerte haben?

Zitat:

Original von Schnuffel001
kann es damit zusammenhänge, dass ähnliche Matrizen das gleiche charakteristische Polynom haben?

Wenn ihr diese Aussage schon hattet, dann reicht das als "Beweis", ja.

Wie du in deinem ersten Beitrag zu den Eigenwerten kommst, kann ich nicht nachvollziehen, was soll die Abbildung $\begin{eqnarray*} L:\mathcal V\rightarrow \mathcal V,~x\mapsto \lambda x \end{eqnarray*}$ sein?

07.07.2012, 13:55

Captain Kirk

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Dein zweiter Post ist ein sehr sinnvoller Ansatz. Und die Fragezeichen und Konjunktive kannst du entfernen, die Aussagen sind richtig.

07.07.2012, 14:13

Schnuffel001

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Gut ^^ der Zusammenhang Eigenwert / charakteristisches Polynom hat sich mir nach mehrfachem Durchlesen des Skripts vs. Wikipedia erschlossen.

Zitat:

Wenn ihr diese Aussage schon hattet, dann reicht das als "Beweis", ja.

Allerdings fehlt genau dieser Beweis in den Unterlagen. Wie könnte man da ansetzen? Wie kommt man zu dem charakteristisches Polynom unter Benutzung der Determinante der Matrix in einem allgemeinen Fall?

07.07.2012, 14:16

Schnuffel001

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Einen Beweis dafür, dass die Determinanten gleich sind habe ich:

$\begin{eqnarray*} det(A) = det(S^{-1} * B * S) = det(S^{-1}) * det( B) * det(S) = det(S)^{-1} * det( B) * det(S) = det (B) \end{eqnarray*}$

Aber inwieweit sagt das etwas über charakteristische Polynome?

07.07.2012, 14:18

Iorek

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Der Beweis zu der Aussage ist eigentlich nur ein wenig Determinantenspielerei.

Was haben wir? Zwei ähnliche Matrizen $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ . Das liefert eine Aussage über die Matrizen, die du im ersten Beitrag schon genannt hast. Und dann fang doch mal mit dem charakteristischen Polynom von $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ an:

$\begin{eqnarray*} \chi_B(x)=\det(x\cdot I_n-B)=\dots \end{eqnarray*}$

Das läuft ähnlich wie der Beweis zur gleichen Determinante ab.

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