Welche Eigenwerte und Eigenvektoren haben die Projektionen?

07.07.2012, 14:09

Schnuffel001

Welche Eigenwerte und Eigenvektoren haben die Projektionen?

Meine Frage:
Ich frage mich wie ich die Eigenwerte und -vektoren zu einer Projektion ermitteln kann...

Meine Ideen:
Wir haben eine orthogonale Projektion definiert als Abbildung
$\begin{eqnarray*} pr = pr_{\vec{x}_1}: \vec{x}_2 -> (\frac{1}{||x||^2} * \vec{x}_2 * \vec{x}_1) \vec{x}_1 \end{eqnarray*}$

Ich weiß aber nicht wie ich das nutzen kann um die Eigenwerte zu bestimmen. Um überhaupt die Eigenwerte berechnen zu können bräuchte ich eine Matrix. Aber wie kann ich aus dieser Abbildung die Matrix ermitten?

Ich habe mir schon den Wikipediabeitrag zu Projektionen
http://de.wikipedia.org/wiki/Projektion_(Mathematik)
durchgelesen aber das bringt mich nicht richtig weiter.

Demnach können die Eigenwerte nur 0 und 1 sein. Aber wieso? Wie komme ich auf diese Lösung? Zu allem Übel ist mir die Schreibweise mit kerP und imP nicht wirklich geläufig, was bedeutet das?

08.07.2012, 02:22

frank09

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Welche Eigenwerte und Eigenvektoren haben die Projektionen?

Zitat:

Aber wie kann ich aus dieser Abbildung die Matrix ermitten?

Die einfachste Möglichkeit ist, wenn man errechnet, auf welche Vektoren die Standardbasis $\begin{eqnarray*} \vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3} \end{eqnarray*}$ abgebildet/projiziert wird.
Sei $\begin{eqnarray*} Pr_{\vec{x}_1}:\mathbb R^3\to\mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ eine orthogonale Projektion auf $\begin{eqnarray*} \vec{x}_1=\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Dann gilt:
$\begin{eqnarray*} Pr_{\vec{x}_1}:\vec{e}_1\to(\frac{\vec{e}_1 * \vec{x}_1}{||\vec{x}_1||^2}) \vec{x}_1 =\frac{3}{50}\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0,18 \\ 0,24 \\ 0,3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} Pr_{\vec{x}_1}:\vec{e}_2\to\frac{4}{50}\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0,24 \\ 0,32 \\ 0,4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} Pr_{\vec{x}_1}:\vec{e}_3\to\frac{5}{50}\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0,3 \\ 0,4 \\ 0,5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Somit $\begin{eqnarray*} M_{Pr}=\begin{pmatrix} 0,18 & 0,24 & 0,3 \\ 0,24 & 0,32 & 0,4 \\0,3 & 0,4 & 0,5 \end{pmatrix}=\vec{x}_{n}\vec{x}_{n}^T \end{eqnarray*}$ ( $\begin{eqnarray*} \vec{x}_{n} \end{eqnarray*}$ normierter Projektionsvektor) .

Zitat:

Demnach können die Eigenwerte nur 0 und 1 sein. Aber wieso?

Wie man unschwer erkennen kann, werden alle Vektoren auf ein Vielfaches von $\begin{eqnarray*} \vec{x}_1 \end{eqnarray*}$ (=Image/Bild/imPr) abgebildet. Als Eigenvektoren kommen somit nur Vielfache von $\begin{eqnarray*} \vec{x}_1 \end{eqnarray*}$ infrage oder solche, die auf Null (=Kern/kerPr) abgebildet werden. Letztere werden ja auf ihr nullfaches abgebildet und daher Eigenwert null. Den anderen EW kann man leicht ausrechnen.

Zitat:

...kerP und imP nicht wirklich geläufig, was bedeutet das?

Mit dem Kern bezeichnet man die Menge aller Vektoren, die auf den Nullvektor abgebildet werden. Im Fall der orth. Projektion wären das diejenigen, die senkrecht zu $\begin{eqnarray*} \vec{x}_1 \end{eqnarray*}$ stehen und damit verschwinden.
Mit dem Bild bezeichnet man die Menge aller Vektoren, auf die abgebildet wird (Wertemenge). In diesem Fall Vielfache von $\begin{eqnarray*} \vec{x}_1 \end{eqnarray*}$

08.07.2012, 16:04

Schnuffel001

Auf diesen Beitrag antworten »

großes Dankeschön für die tolle Antwort! Jetzt hab ichs verstanden Mit Zunge

Neue Frage »

Antworten »

Welche Eigenwerte und Eigenvektoren haben die Projektionen?

Verwandte Themen