stetigkeit implizite Funktion

07.07.2012, 15:59

Matheversteher

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stetigkeit implizite Funktion

Hallo

smile

vor ein paar tagen habe ich schonmal eine frage zur stetigkeit einer impliziten funktion gestellt (hier). ich dachte ich hätte das ganze verstanden. habe ich aber nicht unglücklich

unglücklich

und die klausur kommt in großen schritten näher. ich würde nun gerne wissen, wie das ganze allgemein aussehen muss. als beispiel habe ich folgende

als beispiel möchte ich die stetigkeit von dieser funktion $\begin{eqnarray*} f(x,y): \mathbb R ^2 \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ zeigen:
$\begin{eqnarray*} f(x,y):= \sqrt[3]{x^3-y^3} \end{eqnarray*}$
aber wie mache ich das? ich habe leider keine ahnung, wie ich das zeigen soll (falls sie stetig ist oder wo sie nicht stetig ist).

ich hoffe jemand von euch hat die geduld und kann mir erklären, wie ich vorgehen muss. Gott

Gott

bin für jede hilfe dankbar!

07.07.2012, 22:11

Dopap

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hat die Funktionsvorschrift auch einen Definitionsbereich oder soll in Erweiterung ein Maximaler angenommen werden?

und warum redest du immer von impliziten Funktionen?

08.07.2012, 13:06

Matheversteher

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Zitat:

Original von Dopap
hat die Funktionsvorschrift auch einen Definitionsbereich oder soll in Erweiterung ein Maximaler angenommen werden?

Die Aufgabe ist so komplett übernommen. Habe den Definitionsbereich nicht weggelassen, insofern ist von einem maximalen Definitonsbereich auszugehen.

Zitat:

Original von Dopap
und warum redest du immer von impliziten Funktionen?

ist es keine implizite Funktion? also ich habe gedacht, dass wenn durch eine Gleichung $\begin{eqnarray*} y=f(x) \end{eqnarray*}$ definiert ist. so kann ich die Funktion auch als $\begin{eqnarray*} f(x,(g(x)) =0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} y=g(x) \end{eqnarray*}$ schreiben kann, ist es eine implizite Funktion. Aber wenn ich mich nicht irre gilt das nur auf der Geraden $\begin{eqnarray*} x=y \end{eqnarray*}$
Also bezeichne ich die Funktion einfach als Funktion mit mehreren Variablen? verwirrt

verwirrt

Aber wie zeige ich denn hier die Stetigkeit? Es wird wohl wieder auf einen $\begin{eqnarray*} \epsilon-\delta \end{eqnarray*}$ -Beweis hinauslaufen.Während ich im \mathbb R aber nur x als Variable gehabt habe, so habe ich ja jetzt x und y als Variable. Wie wende ich denn das Kriterium jetzt an? Mein Problem ist auch, wie sieht das Kriterium überhaupt aus? Wie gesagt, kenne es nur für den $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ (also für Funktionen $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ ) verwirrt

verwirrt

09.07.2012, 19:55

Matheversteher

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Huch, habe ich euch jetzt alle verschreckt mit meiner Inkompetenz? Ich habe echt keine Ahnung Hilfe

Hilfe

Laut Lösung ist die genannte Funktion stetig, mit der Begründung:
"Für f folgt aus den Rechenregeln für konvergente Folgen und der Tatsache, dass $\begin{eqnarray*} g(x)= \sqrt[3]x \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ stetig ist, Stetigkeit.

Damit kann ich aber leider nichts anfangen und würde es gerne selbst Rechnen. nur wie gesagt, ich habe keinerlei Ahnung wie ich es machen soll und hoffe auf eine helfende Hand unglücklich

unglücklich

09.07.2012, 22:02

Louis1991

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Hallo,

Also ehrlich gesagt sehe ich nicht, wo bei der Stetigkeit dieser Funktion das Problem sein soll. Sie ist ja ganz einfach eine Komposition der im Definitionsbereich stetigen Abbildungen "dritte Wurzel", "dritte Potenz" und "Subtraktion" und als solche sofort selbst wieder stetig. Oder gibt es irgendwo einen Problempunkt?

Ein "Epsilon-Delta-Beweis" wäre wohl ziemlich nervig, weil du das für jeden Punkt in der reellen Ebene machen müsstest, sounds fun. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Eine implizite Funktion ist übrigens in der Tat etwas anderes.

lg
kai

09.07.2012, 22:24

Dopap

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natürlich sticht der Punkt O(0,0) wieder ins Auge.

Ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ als Definitionsbereich ?

Ich gehe mal davon aus, dass $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{ v} \end{eqnarray*}$ nur für $\begin{eqnarray*} v \geq 0 \end{eqnarray*}$ definiert ist.

Es muss ja dann gelten: $\begin{eqnarray*} x^3 \geq y^3 \end{eqnarray*}$ was doch einige Einschränkungen mit sich bringt. Die Frage ist nur , ob diese Einschränkungen mit ihren Randlinien extra untersucht werden müssen ?

Evtl. ist eine Gebietseinteilung gar nicht so schwer und enthält nur Geraden (stücke) verwirrt

verwirrt

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09.07.2012, 22:28

Louis1991

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Zitat:

Original von Dopap
natürlich sticht der Punkt O(0,0) wieder ins Auge.

Ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ als Definitionsbereich ?

Ich gehe mal davon aus, dass $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{ v} \end{eqnarray*}$ nur für $\begin{eqnarray*} v \geq 0 \end{eqnarray*}$ definiert ist.

Es muss ja dann gelten: $\begin{eqnarray*} x^3 \geq y^3 \end{eqnarray*}$ was doch einige Einschränkungen mit sich bringt. Die Frage ist nur , ob diese Einschränkungen mit ihren Randlinien extra untersucht werden müssen ?

Evtl. ist eine Gebietseinteilung gar nicht so schwer und enthält nur Geraden (stücke) verwirrt

verwirrt

Also ich weiß nicht... bei uns ist die "Dritte Wurzel" auch für negative Argumente definiert (es ist ja eindeutig klar, was gemeint ist). Sonst wäre ja schon die Aufgabenstellung falsch, da steht eindeutig, dass von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ abgebildet wird.

09.07.2012, 22:51

Dopap

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warum Vollzitate in einer direkten Antwort ? alles nur Datenmüll.

und bei der Schreibfigur

$\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ ist das Erstere stringent der Definitionsbereich ?

und was bedeutet " bei uns " ?

09.07.2012, 22:56

Louis1991

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Warum Seitenhiebe, die nichts mit dem Thema zu tun haben? Das ist doch auch mindestens eine Zeile "Datenmüll".

Und ja, das erste ist in der Tat der Definitionsbereich, man siehe zum Beispiel hier: http://de.wikipedia.org/wiki/Funktion_%2...nd_Konventionen

Und ich weiß, wikipedia ist nicht "the source to be", aber in der Regel eben die erste Anlaufstelle. Alternativ findet man sicher auch an anderer Stelle selbige Definition. Und das mit dem Wurzelzeichen kann man verschieden handhaben. Ich persönlich würde ja auch eher eine gesplittete Funktion mit "negative Wurzel des Betrages für negatives Argument" und "Wurzel des Betrages" für positives Argument vorziehen, aber viele Autoren (und mit "bei uns" meine ich hier auch die Analysis Tutoren/Profs.,/Doktoren die ich an der Uni bis jetzt kennenlernen durfte) kürzen das eben so ab, wie es da oben steht. Und es ist ja auf natürliche Weise klar, was gemeint sein soll, also ist das (im gewissen Rahmen) legitim.

E: Okay, darunter steht etwas von Quellmengen. Aber das habe ich bis jetzt in noch keinem Buch und keiner Aufgabe an der Uni so gesehen. Da kann man jetzt bei dieser Aufgabe vermutlich mit seinem Dozenten streiten, wenn man möchte. Woran es aber (imho) nichts ändern sollte, ist, dass die 3.-Wurzel zumindest auf ihrem Definitionsbereich stetig ist.
E2: Im Königsberger ist zum Beispiel wiederum explizit von Definitionsbereich (und in keinem Wort vom Quellbereich) die Rede.

09.07.2012, 23:27

Matheversteher

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danke dass ihr mir helft smile

smile

die wurzel ist bei uns ebenfalls für negative argumente definiert.

ich wollte mich in der lösung nicht einfach mit der "komposition stetiger funktionen" abspeißen lassen. wollte es deshalb einmal selbst machen und zeigen, dass sie stetig ist. gut dann liegt der fehler wohl bei mir, dass ich gerade diese offensichtliche aufgabe gewählt habe wo die lösung schon auf der hand liegt.
da ich zur zeit für die ana2 klausur lerne, wollte ich die stetigkeit auch in der klausur zeigen könnne, sollte eine solche aufgabe dran kommen. wie man sich evtl denken kann wird die funktion etwas shwerer sein, sodass man es evtl zeigen muss und nicht über die stetigkeit gehen kann (oder was meint ihr verwirrt

verwirrt

) ich hätte als alternative noch eine zweite aufgabe anhand welcher ihr es mir erklären könnt:
$\begin{eqnarray*} f(x,y)= \frac{y(x^2+y^2)^{3/2}}{(x^2+y^2)^2+y^2} \end{eqnarray*}$ wenn $\begin{eqnarray*} x^2+y^2\neq0 \end{eqnarray*}$ ; 0 sonst. $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ bleibt bestehen. (oder besser einen neuen thread aufmachen? verwirrt

verwirrt

09.07.2012, 23:51

Dopap

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Es gibt hier eine geraume Anzahl von Leuten, die Vollzitate für unnütz halten. Ich gehöre dazu.
Wenn man dann ein Zitat eines Vollzitates zitiert wird es unangenehm.

O.K. die dritte Wurzel aus negativen Zahlen könnte man definieren , aber die Folgen...

Ich konnte mich auch früher nicht mit einer solchen Schleichfahrt: "nun wir wissen alle was gemeint ist " anfreunden. Auch heute noch nicht.

10.07.2012, 00:06

Louis1991

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Entschuldige das Abdriften vom eigentlichen Thema, und ich werde mich auch gleich ins Bett, also Dopap darf gerne übernehmen, aber ich möchte trotzdem noch ein, zwei Worte verlieren:

ich stimme dir ja durchaus darin zu, dass diese Art von Notation nicht gerade schön ist. Wir hatten so eine ähnliche Aufgabe auch letztens auf einem Übungszettel, wo es um Diffeomorphismen zwischen Mannigfaltigkeiten ging, und irgendwo brauchte man die Umkehrfunktion von x³ - mein Tutor hat sich doch sehr gewundert, als ich das als zusammengesetzte Abbildung aus positivem und negativem Definitionsbereich angegeben habe... da war ich wohl der einzige, der auf Sauberkeit Wert gelegt hat. Aber auch wenn man selbst gerne sauber arbeitet, sollte man doch versuchen solche erstmal "schlampigen" Schreibweisen so zu verstehen, wie sie wohl gemeint waren. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Abgesehen davon: auch wenn wir die 3.-Wurzel nur auf nichtnegativen Zahlen als definiert vorausgesetzt hätten, hätte das doch der Stetigkeit obiger Abbildung keinen Abbruch getan, oder? Schließlich ist auch die Abbildung "Wurzel", die reellwertig nur auf nichtnegativen Zahlen definiert ist, stetig im Definitionsbereich. Und dann wäre obige Abbildung immernoch stetig gewesen, nur halt auf eventuell kleinerem Definitionsbereich.
Die Differenzierbarkeit ist natürlich eine ganz andere Frage, da wird der Nullpunkt bei Wurzelfunktionen ja bekanntlich problematisch.

10.07.2012, 16:14

Huggy

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Zitat:

Original von Matheversteher
da ich zur zeit für die ana2 klausur lerne, wollte ich die stetigkeit auch in der klausur zeigen könnne, sollte eine solche aufgabe dran kommen. wie man sich evtl denken kann wird die funktion etwas shwerer sein, sodass man es evtl zeigen muss und nicht über die stetigkeit gehen kann (oder was meint ihr verwirrt

verwirrt

) ich hätte als alternative noch eine zweite aufgabe anhand welcher ihr es mir erklären könnt:
$\begin{eqnarray*} f(x,y)= \frac{y(x^2+y^2)^{3/2}}{(x^2+y^2)^2+y^2} \end{eqnarray*}$ wenn $\begin{eqnarray*} x^2+y^2\neq0 \end{eqnarray*}$ ; 0 sonst. $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ bleibt bestehen.

Wenn eine Funktion als etwas komplexerer Formelausdruck gegeben ist, wird man dir üblicherweise nicht zumuten, ihre Stetigkeit mit dem $\begin{eqnarray*} \epsilon - \delta \end{eqnarray*}$ -Kriterium nachzuweisen. Das trifft auf dein erstes Beispiel zu und auch auf dein zweites Beispiel außerhalb der Punktes (0, 0). Anders sieht es bei deinem zweiten Beispiel im Punkt (0, 0) aus. Da ist die Funktion nicht durch den Formelausdruck definiert, weil der dort unbestimmt ist. Im Punkt (0, 0) liegt also keine Komposition stetiger Funktionen vor und deshalb kannst du dich dort auch nicht darauf beufen. Hier musst du tatsächlich das $\begin{eqnarray*} \epsilon - \delta \end{eqnarray*}$ -Kriterium anwenden.

Für die Stetigkeit im Punkt $\begin{eqnarray*} (x_0, y_0) \end{eqnarray*}$ ist also zu zeigen, dass man für beliebiges $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ stets ein solches $\begin{eqnarray*} \delta > 0 \end{eqnarray*}$ finden kann, dass für alle Punkte $\begin{eqnarray*} (x, y) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} ||(x, y), (x_0, y_0)|| = \sqrt {(x-x_0)^2+(y-y_0)^2} < \delta \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} |f(x,y)-f((x_0, y_0)| < \epsilon \end{eqnarray*}$ . Bei $\begin{eqnarray*} (x_0, y_0)=(0, 0) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(0, 0)=0 \end{eqnarray*}$ ist demnach zu zeigen: Für beliebiges $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ kann man stets ein solches $\begin{eqnarray*} \delta > 0 \end{eqnarray*}$ finden, dass für alle Punkte $\begin{eqnarray*} (x, y) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \sqrt {x^2+y^2} < \delta \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} |f(x, y)| < \epsilon \end{eqnarray*}$ .

Man zeigt das meist rückwärts. Man nimmt z. B. an, es sei $\begin{eqnarray*} \sqrt {x^2+y^2}= \delta \end{eqnarray*}$ . Dann zeigt man, dass dann gilt $\begin{eqnarray*} |f(x, y)| \leq g(\delta) \end{eqnarray*}$ mit einer streng monoton wachsenden Funktion g und $\begin{eqnarray*} g(0)=0 \end{eqnarray*}$ . Damit ist man fertig. Denn für gegebenes $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ braucht man ja dann nur $\begin{eqnarray*} \delta =g^{-1}(\epsilon) \end{eqnarray*}$ zu wählen.

Es sei also in deinem Beispiel $\begin{eqnarray*} \sqrt {x^2+y^2}=\delta \end{eqnarray*}$ . Dann ist:

$\begin{eqnarray*} (*) \quad|f(x,y)| \leq \frac {|y|\delta^3}{\delta^4+y^2} \end{eqnarray*}$

Meist kommt man mit einfachen Abschätzungen zum Ziel. Hier ist es etwas schwieriger. Man kann auf üblichem Weg ermitteln, für welches y bei gegebenem $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ die rechte Seite von (*) maximal wird. Dieses y kann man dann rechts einsetzen. Damit hat man eine geeignete Funktion $\begin{eqnarray*} g(\delta) \end{eqnarray*}$ gefunden.

10.07.2012, 17:53

Matheversteher

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hey huggy

smile

danke dass du mir hilfst.

Zitat:

Original von huggy
Für die Stetigkeit im Punkt ist also zu zeigen, dass man für beliebiges stets ein solches finden kann, dass für alle Punkte mit gilt . Bei und ist demnach zu zeigen: Für beliebiges kann man stets ein solches finden, dass für alle Punkte mit gilt .

ich habe mir jetzt deinen tipp zu hilfe genommen und angefangen zu rechnen.also wenn ich das richtig verstanden habe, muss ich folgendes machen:

$\begin{eqnarray*} |\frac{y(x^2+y^2)^{3/2}}{(x^2+y^2)^2+y^2} -0| \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =|\frac{y\cdot\sqrt{x^2+y^2}\cdot(x^2+y^2)}{(x^2+y^2)^2+y^2}| \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \leq |\frac{y\cdot\sqrt{x^2+y^2}\cdot(x^2+y^2)}{x^2+y^2}| \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =|\frac{y\cdot\sqrt{x^2+y^2}}{x^2+y^2}| \end{eqnarray*}$

mhhh... verwirrt

verwirrt

aber nun? irgendwas habe ich doch falsch gemacht. denn wenn ich jetzt weiter kürze:
$\begin{eqnarray*} =|\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}| \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \leq|y|\cdot|\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}| \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \leq|y|\cdot\frac{1}{\delta}\leq\epsilon \end{eqnarray*}$
so aber der letzte ausdruck ist ja definitiv nicht richtig oder? denn für kleine $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ wird der ausdruck ja größer, außerdem habe ich noch ein $\begin{eqnarray*} |y| \end{eqnarray*}$ dabei. verwirrt

verwirrt

10.07.2012, 18:41

Huggy

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Die Vernachlässigung von $\begin{eqnarray*} y^2 \end{eqnarray*}$ im Nenner ist bei dieser Aufgabe nicht hilfreich, obwohl so etwas in ähnlichen Fällen durchaus funktioniert. Deshalb habe ich ja oben einen anderen Weg vorgeschlagen, der zum Ziel führt.

P. S. Bin vermutlich erst wieder morgen Nachmittag online.

10.07.2012, 19:22

Matheversteher

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ok alles klar, werde dann mal weiter rechnen und dir hoffentlich morgen eine alternative liefern können smile

smile

12.07.2012, 14:11

Matheversteher

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sorry huggy,
aber so wirklich check ich es nicht.

Zitat:

Original von Huggy
Meist kommt man mit einfachen Abschätzungen zum Ziel. Hier ist es etwas schwieriger. Man kann auf üblichem Weg ermitteln, für welches y bei gegebenem die rechte Seite von (*) maximal wird. Dieses y kann man dann rechts einsetzen. Damit hat man eine geeignete Funktion gefunden.

suche ich jetzt hier per durch differenzieren, hinreichende und notwendige bedingung (stichwort: hesse-matrix verwirrt

verwirrt

) ein maximum der funktion? oder wie darf ich das verstehen?

12.07.2012, 14:50

Huggy

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Die Sache ist viel einfacher. Es soll ja das Maximum von $\begin{eqnarray*} |f(x,y)| \end{eqnarray*}$ bei gegebenem $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ betrachtet werden. Oder mit anderen Worten, es soll das Maximum unter der Nebenbedingung $\begin{eqnarray*} x^2+y^2= \delta^2 \end{eqnarray*}$ betrachtet werden. Wenn man die Nebenbedingung einsetzt, was ich oben schon gemacht hatte, bleibt nur y als Variable. Es ist also nur noch nach y abzuleiten, wobei $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ als Konstante zu betrachten ist.

Anschaulich bedeutet das, man sucht das Maximum von $\begin{eqnarray*} |f(x,y)| \end{eqnarray*}$ auf dem Rand eines Kreises um den Nullpunkt mit Radius $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ . Anschließend schaut man sich an, wie das Maximum von $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ abhängt. Wenn das Maximum dann hoffentlich gegen 0 konvergiert, konvergiert natürlich $\begin{eqnarray*} |f(x,y)| \end{eqnarray*}$ insgesamt gegen 0.

P. S. Wieso verschwinden die Latex-Teile, wenn du mich zitierst?

12.07.2012, 19:04

Matheversteher

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also das heißt ich berechne:
$\begin{eqnarray*} g(y)' =\frac {|y|\delta^3}{\delta^4+y^2}'=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{\delta^4 -\delta^3*y^2}{\delta+y^2}=0 \end{eqnarray*}$
dann:
$\begin{eqnarray*} ...\rightarrow y= \sqrt{\delta} \end{eqnarray*}$

wenn ich das dann eisetze folgt:

$\begin{eqnarray*} |f(x,y)|\leq \frac {\delta^3}{\delta^4+1}\leq\epsilon \end{eqnarray*}$

und jetzt wäre ich fertig? oder was fehlt mir noch?

zum p.s. keine ahnung warum das nicht geht. benutze den opera-browser und wenn ich vergesse die tex-formeln gesindert einzufügen, dann sind sie nicht dabei.

12.07.2012, 19:15

Huggy

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Deine Ableitung kann ich nicht nachvollziehen. Ich komme ganz ausführlich geschrieben bei y > 0 auf:

$\begin{eqnarray*} g'(y)=\frac{\delta^3(\delta^4+y^2)-y\delta^32y}{(\delta^4+y^2)^2} \end{eqnarray*}$

Den Fall y < 0 muss man nicht extra rechnen.

12.07.2012, 19:53

Matheversteher

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} g'(y)=\frac{\delta^3(\delta^4+y^2)-y\delta^32y}{(\delta^4+y^2)^2} \end{eqnarray*}$

genau die habe ich auch. habe dann noch umgeformt aber wohl einige $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ und ein $\begin{eqnarray*} ^2 \end{eqnarray*}$ verloren Hammer

Hammer

hier nochmal ausführlich wie meine umformung aussehen sollte:

$\begin{eqnarray*} = \frac{\delta^7 +\delta^3y^2-2\delta^3y^2}{(\delta^4+y^2)^2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\frac{\delta^7-\delta^3y^2}{(\delta^4+y^2)^2} \end{eqnarray*}$

ich glaube jetzt sollte es stimmen verwirrt

verwirrt

ja, der Fall y<0 sollte sich doch eigentlich erledigt haben, da die $\begin{eqnarray*} ^2 \end{eqnarray*}$ das "minus" löschen oder? das wars dann jetzt? verwirrt

verwirrt

ohne deine hilfe wäre ich da jetzt im leben nicht drauf gekommen. ich danke dir smile

smile

wie sieht man sowas? oder war das jetzt erfahrung?

12.07.2012, 22:22

Huggy

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Nullsetzen ergibt $\begin{eqnarray*} y^2=\delta^4 \end{eqnarray*}$ und das führt zu einer geeigneten Abschätzung für $\begin{eqnarray*} |f(x,y)| \end{eqnarray*}$ .

Ich bin auf diesen Weg gekommen, nachdem die üblichen einfacheren Abschätzungen bei dieser Aufgabe nicht funktionierten.

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