Vektoren linear abhängig oder nicht?

30.01.2007, 18:28

Pitchriddick

Vektoren linear abhängig oder nicht?

Hallo, hab da einige Schwierigkeiten herauszufinden , ob diese angegebenen Vektoren linear abhängig oder unabhängig sind:

a.)

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix};~\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix};~\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

So, nun habe ich eine Linearkombination gebildet und gleich dem Null-Vektor gesetzt (so sollen wir es machen) und so weit gekommen :

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & | 0 \\ 0 & 2 & -2 & | 0\\ 0 & 0 & 2 & | 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Gut nun weiß ich nicht, wie der nächste Schritt geht, was zu tun ist... Woran erkenne ich denn, dass sie linear (un)abhängig sind?

----------------------------------------------------------------------------------------------

b.)
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 7 \\ 6 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 10 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

... so weit gekommen (keine spalte oder zeile hin und hergeschoben, aber ich könnte oder?):

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 & 7 & 10 & | 0 \\ 0 & 6 & 6 & | 0\\ 0 & 0 & 36 & | 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Habe ich hier irgendwie einen Fehler gemacht? Weil die vorgegebene Lösung zeigt mir lineare Abhängigkeit an.

Wäre toll, wenn mir das einer gut erklären könnte !
Vielen Dank schon einmal!!

30.01.2007, 19:15

GDY

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Naja, eigentlich hast du es schon gezeigt. Im Prinzip muss du für lineare Unabhängigkeit zeigen, dass (bei der a) )

$\begin{eqnarray*} \kappa \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + \mu \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

nur dann gilt wenn $\begin{eqnarray*} \kappa, \lambda, \mu = 0 \end{eqnarray*}$ sind.

Das machst du im Prinzip so wie du es gemacht hast, du erstellst ein LGS und löst es dann. Bei dir wäre es ja:

$\begin{eqnarray*} 0 = \kappa + \mu \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 = 2\lambda - 2\mu \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 = 2\mu \end{eqnarray*}$

Jetzt musst du halt noch zeigen, dass wirklich $\begin{eqnarray*} \mu, \lambda, \kappa = 0 \end{eqnarray*}$ gilt.

30.01.2007, 23:17

Pitchriddick

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$\begin{eqnarray*} 0 = \kappa + \mu \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 = 2\lambda - 2\mu \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 = 2\mu \end{eqnarray*}$

gut, also so :
$\begin{eqnarray*} 0 = 2\mu \end{eqnarray*}$ | :2
<=> $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ =0

$\begin{eqnarray*} 0 = 2\lambda - 2\mu \end{eqnarray*}$ |:2
<=> $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ =0

und ebenfalls k=0

Ok, alle Variablen sind ja 0 => Linear Unabhaengig!

Alles richtig so?

Wie siehts mit b.)) aus?

30.01.2007, 23:39

derkoch

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mache die aufgabe b doch so wie a!
oder du untersuchst die determinate!
beides ist möglich!

31.01.2007, 00:14

GDY

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Bei der b) wollte ich noch anmerken dass du deine Matrix falsch berechnet hast. Es stimmt, dass die Vektoren linear Abhängig sind (sieht man ja).

Es fällt mir schwer zu sagen wo dein Rechenfehler ist, da ich die Rechnung nicht habe. Am besten rechnest es nochmal durch (ist wahrscheinlich einfach ein Vorzeichenfehler).

Zu deinen Fragen:
a) ist meiner Rechnung nach ebenfalls linear unabhängig

Spalten und Zeilen kannst du vertauschen wie du willst.

31.01.2007, 12:16

Pitchriddick

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Zitat:

Original von derkoch
mache die aufgabe b doch so wie a!
oder du untersuchst die determinate!
beides ist möglich!

Aha, was ist die Determinante, wie geht das damit?

Zitat:

Bei der b) wollte ich noch anmerken dass du deine Matrix falsch berechnet hast. Es stimmt, dass die Vektoren linear Abhängig sind (sieht man ja).

Und woran siehts du das so schnell, dass sie linear abhängig sind?

Edit: Noch einmal nachgerechnet: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 & 7 & 10 & | 0 \\ 0 & 6 & 6 & | 0\\ 0 & 0 & 0 & | 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Gut, somit sehe ich, dass sie linear abhöngig sind ?

02.02.2007, 20:06

Pitchriddick

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keiner , der mir die letten fragen beantworten kann da? Wink

02.02.2007, 20:32

riwe

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Zitat:

Original von Pitchriddick
keiner , der mir die letten fragen beantworten kann da? Wink

mache es, wie derkoch empfohlen hat:

Det(A) = 0 linear abhängig
Det(A) <> 0 linear unabhängig

werner

03.02.2007, 15:03

GDY

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Mit der Determinante geht es oft wirklich am besten. Allerdings machen nicht alle Klassen / Schulen Determinanten, und wenn du nicht weisst was eine Determinante ist schätze ich mal ist der andere Lösungsweg "vorgesehen".

Also gut, du hast ja folgende Matrix jetzt ja folgendes Lineare Gleichungssystem errechnet:

$\begin{eqnarray*} 0 = 3 \kappa + 7 \lambda + 10 \mu \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 = 6 \lambda + 6 \mu \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 = 0 \end{eqnarray*}$

Jetzt musst du die Lösungsmenge bestimmen. Wenn du nur folgende Lösung dieses Gleichungssystem hast :

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \kappa \\ \lambda \\ \mu \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

dann sind deine deine Vektoren linear unabhängig. Wenn du auch noch andere Lösungen findest, z.B.:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \kappa \\ \lambda \\ \mu \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

dann sind deine Vektoren linear abhängig.

Und in dem Beispiel habe ich das so schnell erkannt, dass sie linear abhängig sind, weil ja (einfache Rechnung)

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 7 \\ 6 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

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