Quadratzahlen in Z/101Z

07.07.2012, 20:26	Longhold	Auf diesen Beitrag antworten »
Quadratzahlen in Z/101Z Meine Frage: Hallo Leute, folgende Aufgabe wurde in einer Probeklausur gestellt: Ist die Kongruenzgleichung $\begin{eqnarray} x^2+97x \equiv 3 mod 101 \end{eqnarray}$ lösbar? Meine Ideen: Durch verschiedene Umformungen kam ich letztendlich (bin mir auch recht sicher) auf: $\begin{eqnarray} (x-2)^2 \equiv 7 mod 101 \end{eqnarray}$ Und hier das Problem. Jetzt müsste ich ja irgendeine "7 Restklasse in Z/101Z" finden, die gleichzeitig Quadratzahl ist. Finde aber keine durch probieren und gehe daher davon aus, dass 7 mod 101 keine Quadratzahl bildet. Aber wie kann ich das beweisen? Danke schonmal für eure Mithilfe. MfG Longhold
07.07.2012, 20:34	gurkensalat	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist eine Aufgabe für's Legendre-Symbol.
07.07.2012, 21:39	Longhold	Auf diesen Beitrag antworten »
ok, danke für den Tipp, trotzdem bleib ich kurz vor dem Ziel stecken. Das legendre-symbol kannte ich vorher nicht, scheint aber zu passen. laut wiki in meinem fall. $\begin{eqnarray} \left(\frac{7}{101} \right) \equiv 7^{\frac{101-1}{2}} = 7^{50} \equiv ? mod 101 \end{eqnarray}$ wie komme ich jetzt weiter...mir fehlen da die richtigen kniffe denke ich
07.07.2012, 21:49	Captain Kirk	Auf diesen Beitrag antworten »
Normalerweise verwendet man zur Berechnung des Legrende-Symbols die quadratischen Reziprozitätssätze. Aber eines verwirrt mich: Die berbeitest scheinbar eine Probeklausur zu einer Vorlesung, die anderen Stoff hat als den, den du kennst. Wieso?
07.07.2012, 22:41	Longhold	Auf diesen Beitrag antworten »
hm, ich werde wohl einfach nicht da gewesen sein, als uns das gezeigt wurde. passiert. ist aber bis jetzt die einzige wissenslücke, die die probeklausur offenbart hat. vielleicht stoße ich noch auf andere ... werde mir jetzt erstmal die quadratischen reziprozitätssätze zu gemüte führen, die allerdings in meinen VL-aufzeichnungen fehlen (allerdings fehlen auch eine VL und zwei UE). egal... ein hoch auf das internet und auf einen großen haufen fachbücher
07.07.2012, 23:45	Longhold	Auf diesen Beitrag antworten »
gut, ich denke ich habs: $\begin{eqnarray} (x-2)^2 \equiv 7 mod 101 \ <br /> \Rightarrow \left(\frac{7}{101} \right) = \left(\frac{101}{7} \right) = \left(\frac{3}{7} \right) = \left(-1\right) \cdot \left(\frac{7}{3} \right) = \left(-1\right) \cdot \left(\frac{1}{3} \right) = \left(-1\right)<br /> \end{eqnarray}$ also, ist 7 ein nichtquadratischer Rest. Richtig?
Anzeige

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »