Eigenwert

08.07.2012, 02:46	liebe_Maus	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenwert Hallo ihr liebe Mathe Freunde Mir ist ein Problem unklar und zwar sei gegeben sein Operator/ Endomorphismus $\begin{eqnarray} T\in L(\mathbb R^{3} ) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} T\left(v\right) =\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot v \end{eqnarray}$ Wir haben in der Vorlesung ganz allgemein eingeführt, das wenn $\begin{eqnarray} V K-VR \end{eqnarray}$ sei und $\begin{eqnarray} T\in L(\mathbb V ) \end{eqnarray}$ Operator ist, dann ist eine Zahl/Skala $\begin{eqnarray} \lambda\in \mathbb R \end{eqnarray}$ Eigenwert von $\begin{eqnarray} T \end{eqnarray}$ , falls ein $\begin{eqnarray} u\in V/\left\{ 0 \right\} \end{eqnarray}$ existiert, derart dass $\begin{eqnarray} Tu=\lambda \cdot u \end{eqnarray}$ . In diesem Fall heißt jeder solcher Vektor $\begin{eqnarray} u\in V/\left\{ 0 \right\} \end{eqnarray}$ Eigenvektor von T zum Eigenwert $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ . Nun frage mich wo hier mein Eigenwert $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ versteckt ist? Ich erkenne es leider nicht. Ich meine die Matrix ist es sicher nicht da sie kein Skala ist und der Eigenvektor ist nun mal $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ . Generell kann ich in der Definition nicht die Matrix richtig einordnen, da ihr nur die Rede von einem Eigenwert und einen EigenVEKTOR ist, aber nicht von einer EigenMATRIX. Würde mich sehr freuen, wenn einer von euch die Bereitschaft hat um ein bisschen Klarheit zu verschaffen. Liebe Grüße Eure Liebe_Maus
08.07.2012, 11:49	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenwert Ein Vektor heißt Eigenvektor, wenn die Abbildung den Vektor auf ein Vielfaches von sich selbst abbildet. Also bei einer Spiegelung an einer Ebene im IR³ werden die Vektoren, die in der Spiegelebene liegen auf sich selbst abgebildet und jeder Vektor, der senkrecht auf dieser Ebene steht wird auf sein negatives abgebildet. Eigenwerte sind im allgemeinen nicht einfach so abzulesen (das sind die Skalare, so hat die benannte Spiegelung die Eigenwerte 1 und -1, 1 mit der Vielfachheit zwei und -1 mit der Vielfachheit eins) Also gilt für eine Abbildung T mit der Abbildungsmatrix A, dass $\begin{eqnarray} A \cdot u = \lambda u \end{eqnarray}$ für ein $\begin{eqnarray} \lambda \in K \end{eqnarray}$ und ein $\begin{eqnarray} u \in V \end{eqnarray}$ (K ist der entsprechende Körper, u ein Vektor aus dem Vektorraum V), dann heißt u Eigenvektor der Abbildung T mit dem Eigenwert lambda. In deiner Abbildung ist der Eigenwert erst noch zu bestimmen, dazu bedient man sich der Eigenschaften der Determinante. Es sei T eine lineare Abbildung mit der Abbildungsmatrix A. $\begin{eqnarray} A \cdot x= \lambda x \Rightarrow A \cdot x = \lambda \cdot E \cdot x \Rightarrow A \cdot x - \lambda \cdot E \cdot x=0 \Rightarrow \left( A- \lambda E \right) \cdot x=0 \end{eqnarray}$ Nun kann man die Eigenwerte bestimmen.
08.07.2012, 16:44	liebe_Maus	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey danke dir für deine Antwort. D.h meine Matrix $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ wäre die Abbildungsmatrix bzgl. $\begin{eqnarray} T \end{eqnarray}$ Und insgesammt würde es dann folgendermaßen Aussehen: $\begin{eqnarray} T\left(v\right) =\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot v = \lambda \cdot v \end{eqnarray}$ wobei dann $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ zu bestimmen ist? Liebe grüße
08.07.2012, 17:55	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau, und wie man das Lambda bestimmt habe ich dir ja bereits gezeigt, es ist das LGS $\begin{eqnarray} \left( A- \lambda E \right) \cdot x=0 \end{eqnarray}$ zu lösen. Dieses System besitzt wann eine Lösung? Was hat das mit der Determinante zu tun?
08.07.2012, 18:03	liebe_Maus	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich bestimme nun das charakterische Polynom und die Nullstellen des des charakterisches Polynom sind meine EIgenwerte. Theoretisch sollte das System ja immer eine nicht triviale Lsg besitzen , sofern es reele Nullstellen sind, oder?
08.07.2012, 18:43	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist A eine Matrix und es gilt det A=0, dann hat das LGS Ax=0 immer nichttriviale Lösungen
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