mit Eigenwert abschätzen

09.07.2012, 11:27	Stevö	Auf diesen Beitrag antworten »
mit Eigenwert abschätzen Hallo, ich hab in meinen Unterlagen eine Abschätzung dieser Form gefunden. Ich verstehe nicht warum ich das mit dem kleinsten EW abschätzen darf $\begin{eqnarray} <Ax,y>=\sum\limits_{i,j}^n a_{i,j}\, x_j\, y_i \geq \lambda_{min}(A)\sum\limits_{i,j}^n x_j\, y_i \end{eqnarray}$ für A SPD Matrix wenn mir jemand einen Tipp geben könnte würd ich mich freuen lg
09.07.2012, 12:32	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, eine SPD Matrix ist orthonormal Diagonalisierbar, damit haben wir also $\begin{eqnarray} \langle Ax,y \rangle = \langle O^TAx,O^Ty \rangle = y^TOAO^Tx = y^TDx \end{eqnarray}$ wobei D eine Diagonalmatrix ist und O die entsprechende Orthonormalmatrix aus den Eigenvektoren von A. Der Rest ist nicht mehr schwierig. edit : Hab die A^T Argumente entfernt, ist ja ne symmetrische Matrix.
09.07.2012, 13:51	Stevö	Auf diesen Beitrag antworten »
öhm ... ich steh grad voll bei Schritt 2 an (und bei y hast ein transponiert raufgemacht : ) )
09.07.2012, 13:54	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, es ist doch $\begin{eqnarray} y^TDx = \langle Dx,y \rangle = \sum_{i=1}^n x_{i}D_{ii}y_{i} = ... \end{eqnarray}$ Was genau sind die $\begin{eqnarray} D_{ii} \end{eqnarray}$ ?
09.07.2012, 13:57	Stevö	Auf diesen Beitrag antworten »
ja, schon klar ich mein eins vorher, wo du das Skalarprodukt quasi auflöst, ich bring das A nicht zwischen die O's
09.07.2012, 14:00	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Achso meinst Du das. Ist O eine orthonormale Matrix , dann gilt $\begin{eqnarray} \langle x,y\rangle = \langle Ox,Oy \rangle \end{eqnarray}$ Beweis : Unglaublich trivial . Die transponierte einer orthogonalen Matrix ist ebenfalls orthogonal. Beweis : Fast noch trivialer Insgesamt haben wir also : Da a SPD ist, gibt es eine Matrix O mit $\begin{eqnarray} A = ODO^T \end{eqnarray}$ , wobei O orthogonal ist. Damit kriegst Du dann Schritt 2. edit : jetzt seh ich dein problem, ich denk nochmal kurz drüber nach So gehts besser : $\begin{eqnarray} \langle Ax, y \rangle = \langle DO^Tx,O^Ty \rangle = \langle Dz_1,z_2 \rangle \geq \lambda_{\min}(A)z_1^Tz_2 \end{eqnarray}$ die z_i kannst Du dann auflösen, einfach mal hinschreiben
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09.07.2012, 14:28	Stevö	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} =\lambda_{min}(A)<z_1,z_2>=\lambda_{min}(A)<O^Tx,O^Ty>=\lambda_{min}(A)<OO^Tx,y>=\lambda_{min}(A)<x,y> \end{eqnarray}$ danke
09.07.2012, 14:31	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Japp, so gehts!

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