quadratische diophantische gleichung und der ring der ganzen zahlen

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goe.alexander Auf diesen Beitrag antworten »
quadratische diophantische gleichung und der ring der ganzen zahlen
Hallo, ich würde gern zeigen, das die Gleichung: x²-2y²=p wobei p eine ungerade Primzahl ist, genau dann eine Lösung hat wenn das Legendre Symbol (-2/p)=1 ist.

Also zuerstmal zu (2/p): (2/p) und das ergibt genau dann 1, wenn p kongruent zu +- 1 mod (8) ist also P von der Form 8k+1 oder 8k-1 ist.

Nun zu x²-2y²=p:

und damit:

also
oder eben

was ich jetzt machen würde ist zu zeigen, dass 8k+1 und 8k-1 in verzweigt ist, also ein Element aus dem Ring der ganzen Zahlen finden für welches gilt, das wieder Element des Ringes der ganzen Zhlen ist wobei die konjugation von x ist.

kann mir jemand sagen ob ich das bis hierher richtig angehe und wenn ja wie es möglicherweise weiter geht?
gruß Alex
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: quadratische diophantische gleichung und der ring der ganzen zahlen
hallo alexander,
ich habe auch ein bischen über die aufgabe nachgedacht und mir überlegt:
nimmt man die ausgangsgleichung x^2-2y^2=p modulo p, so hat man
dann da stehen x^2-2y^2=0 bzw x^2=2y^2 modulo p, und wenn man sich
die letzte kongruenzgleichung genau anguckt, steht links ein quadrat, dann
muss die rechte seite ja auch quadratisch sein, y^2 ist ja quadratisch, dann
muss ja die verbleibende 2 ja auch quadratisch sein (in dieser restklasse), und
genau das sagt das legendresymbol (-2/p) ja aus, eigentlich ist die sache ja logisch...
gruss ollie3
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

@ollie: Dies erledigt aber nur eine Richtung des Beweises.

@Threadersteller: Soll es nicht eher lauten?

Und dann, weil du vom Ring der ganzen Zahlen sprichst: Was weißt du denn schon so darüber, wann Primzahlen im Ring der ganzen Zahlen eines quadr. Zahlkörpers wieder prim/irreduzibel sind?
goe.alexander Auf diesen Beitrag antworten »

ja, sorry. es sollte (2/p) heißen, sorry.
danke schonmal an ollie.

also in der Vorlesung haben wir die Begriffe träge, verzweigt und unverzweigt behandelt.
Außerdem ist eine Primzahl entweder irreduziebel im Ring der ganzen Zahlen oder es gibt ein Element x aus dem Ring der ganzen Zahlen mitwelchem sich p darstellen lässt als p=x*K(x)
Demnach ist eine Primzahl p also irreduziebel im Ring der ganzen Zahlen wenn es keine Einheit gibt für die gilt das p=+-x*K(x) (irgendwie ja die "standartdefinition" für irreduziebel). zu schluss haben wir dann noch den zerlegungssatz behandelt um eben mithilfe des legendre symbols zu bestimmen ob eine zahl p irreduziebel ist in

demzufolge sollte das legendre symbol (m/p) für eine primzahl p -1 ergeben wenn diese träge und so wie ich das verstanden habe dann auch irreduziebel in
Edit eine sache ist mir noch eingefallen: Ist die Norm einer Zahl x eine Primzahl, dann ist x ein Primelement im Ring der ganzen Zahlen
goe.alexander Auf diesen Beitrag antworten »

hat keiner weiter ein tipp für mich wie ich es mithilfe des zerlegungssatzes im Ring der ganzen Zahlen zeigen könnte? ich werde jetzt einmal darüber schlafen und morgen posten was mir noch weiter dazu eingefallen ist.
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Du solltest zunächst mal zeigen, dass p in der Situation (2/p)=1 nicht prim ist in
 
 
goe.alexander Auf diesen Beitrag antworten »

hey,
(latex wollte heute nicht so richtig, sorry fürs unschöne schreiben)
also wenn (2/p)=1 ist gilt, dass 2 ein quadratischer Rest modulo p ist. Das wiederum heißt, es gibt eine Zahl x für die gilt: x² = 2 mod (p) <=> x² - 2 = 0 (mod p) <=> p teilt x²-2 = (x- sqrt{-2})*(x+ sqrt{2})
damit würde p einen der beiden Faktoren teilen.
da es nun aber Elemente der Form: (x-sqrt{2})/p bzw. (x+sqrt{2})/p für eine ungerade Primzahlp p im Ring der ganzen Zahlen nicht gibt, folgt damit, dass p nicht träge und damit auch nicht prim ist im Ring der ganzen Zahlen.
soweit richtig?
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