Auf der Suche nach einem nicht reinen Tensor |
10.07.2012, 18:40 | Kiwiatmb | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Auf der Suche nach einem nicht reinen Tensor Ich suche gerade einen nicht reinen Tensor und möchte mir klar machen, dass er nicht rein ist. Mein Kandidat ist . Es gilt ja , da die beiden Summanden jeweils Teil der Standardbasis von sein müssten. Von daher müsste das zumindest mal ein Tensor sein. Und da ich quasi nur die beiden Basiselemente addiere kann ich mir nicht vorstellen, dass sich das als darstellen lässt (denn so ist ja ein reiner/unreiner Tensor definiert). Die Lösung für den Beweis scheint folgendermaßen auszusehen: Den Widerspruch seh' ich auch (wenn man die Koeffizienten vergleicht ergeben sich für die Lambdas widersprüchliche Bedingungen). Aber ich verstehe die erste und zweite Zeile irgendwie nicht bzw. wie man darauf kommt. (Außerdem wird in dieser Zeile anscheinend versucht, t als eine Art Linearkombination von Basisvektoren darzustellen. Das gelingt offensichtlich nicht. Für mich würde das heißen, dass t nicht im gewünschten Raum liegt und damit überhaupt kein Tensor ist, aber da verstehe ich wahrscheinlich was falsch.) Mein Skript hält folgendes, vielleicht passendes bereit: - Bei uns wurde das Tensorprodukt so eingeführt: , wobei F eine direkte Summe ist und E ein etwas seltsam erzeugter Unterraum. - Jedes Element in F lässt sich schreiben als endliche Summe . - Jedes Element in F/E = V tensoriert W lässt sich schreiben als endliche Summe Hoffe, ihr könnt mir hier ein wenig auf die Sprünge helfen. Vielen Dank schon einmal ! Grüße, ~ |
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12.07.2012, 15:05 | Kiwiatmb | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Es würde mir übrigens auch schon sehr helfen, wenn jemand einen (wegen mir anderen) nicht reinen Tensor zeigt und erklärt, wieso es denn nun keiner ist. Dann kann ich gucken, ob ich das evtl. auf obigen Beweis übertragen kann... Vielleicht ist das einfacher für euch? |
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12.07.2012, 18:34 | DP1996 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Zu dem Beweis: Zuerst schreibst du für t einfach die Definition von t. Dann nimmst du die Annahme hinzu, sagst also, t ist reiner Tensor, dann haben aber die einzelnen "Faktoren" dieses Tensors eine Linearkombination zur Standardbasis, die setzt du ein und formst das um. Das funktioniert allgemeiner auch für alle anderen Basen. Bei endlichen Körpern K kann man sich das auch so gut merken: Seien Basen von V bzw. W (die ihrerseits zwei K-Vektorräume darstellen). Dann ist Basis des Tensorproduktes, d.h. Auf der anderen Seite ist aber Dies entspräche lediglich der Summe der einzelnen Dimensionen (ganz davon abgesehen ist aber diese Menge kein Vektorraum). |
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12.07.2012, 19:29 | Kiwiatmb | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Puh, eine Antwort ! Vielen Dank. Hatte etwas Scheu davor, mit dem Tensorprodukt "richtig" zu rechnen, da es ja im eigentlichen Sinne kein Produkt ist. Aber jetzt verstehe ich, warum es den Namen "Produkt" dennoch zu Recht trägt. Soweit ist jetzt zu dem Beweis alles klar denke ich. Deine Bemerkung klingt ziemlich nützlich und das Prinzip habe ich wohl auch verstanden. Aber woher weißt du ? Und wie kannst du die beiden Körper miteinander multiplizieren? Meinst du hier vielleicht das Kreuzprodukt ? Könntest du deine Bemerkung vielleicht noch mit einem "Also..."-Satz vervollständigen? Denn ich sehe, dass die Dimensionen unterschiedlich sind, aber was sagt mir das genau? |
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12.07.2012, 19:33 | DP1996 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also ( ^^ ), wie ich darauf komme ist im Grunde genommen Kombinatorik: ich habe viele Möglichkeiten, mir das v auszuwählen, und eben viele Möglichkeiten, ein w auszuwählen. ah, moment, ich seh das Problem, ich hab die Betragsstriche um das K rum vergessen. Wird sofort editiert. Es werden also nicht die Körper multipliziert, sondern die Anzahl der Möglichkeiten. |
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16.07.2012, 22:40 | Kiwiatmb | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Entschuldigung, ich war am Wochenende nicht da. Müssten die Betragsstriche nicht direkt um die K liegen? Und mit dem "Also"-Satz meinte ich eher die Aussage, die Folgerung aus deinen Ausführungen. Denn dass seh ich ein und auch ist dann klar. Aber was sagt mir das ? Dass es bei endlichen Körpern K als Vektorräume im Tensorprodukt immer nicht reine Tensoren gibt? |
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17.07.2012, 13:44 | DP1996 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Kommt auf's gleiche raus.
Zumindest, dass es von beiden nicht gleich viele geben kann, denn im allgemeinen ist ja . Da aber jeder reine Tensor sowieso ein Element von ist, müssen also nicht reine Tensoren existieren. |
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17.07.2012, 13:56 | Kiwiatmb | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Stimmt. Da ist was dran. Vielen Dank auch für diese Zusatzinfos ! Hast mir insgesamt sehr geholfen ! |
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17.07.2012, 14:01 | DP1996 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Gern geschehen! |
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