Beweis: TKern(T^-1A*T)=Kern(A)

10.07.2012, 19:36	blahbel	Auf diesen Beitrag antworten »
*Beweis: TKern(T^-1AT)=Kern(A)** Hallo, muss folgende Aussage beweisen, und habe keine Ahnung wie ich das anfangen soll. Habe eine Lösung, aber die ist unvollständig und unleserlich und deshalb schwer nachvollziehbar. Aufgabe: Sei K ein Körper, n element der natürlichen Zahlen, und A, T element K^nxn, so das T invertierbar ist. Zeigen sie das gilt: TKern(T^-1AT) = Kern(A). Als erstes wird gezeigt: TKern(T^-1AT) ist Untermenge von Kern(A). Sei v element TKern(T^-1AT) => T^-1v ist element Kern(T^-1AT). Den Teil kann ich noch nachvollziehen, aber danach wird es ziemlich unleserlich und ich versteh nichts mehr. Kann mir vielleicht jemand einen Tipp geben wies weitergeht, oder mir erklären warum die Aussage eigentlich gilt, so das ich besser verstehe was ich da eigentlich beweisen will? Danke schonmal :-)
11.07.2012, 10:37	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
zu zeigen: $\begin{eqnarray} T \cdot \operatorname{Kern} \left( T^{-1}AT \right) \subseteq \operatorname{Kern}(A) \end{eqnarray}$ Um dies zu zeigen, muß man ein beliebiges Element $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ der Menge links nehmen und nachweisen, daß es auch der rechten Menge angehört. Sei also $\begin{eqnarray} v \in T \cdot \operatorname{Kern} \left( T^{-1}AT \right) \end{eqnarray}$ Damit läßt sich $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ schreiben als $\begin{eqnarray} v = Tx \ \ \text{mit} \ \ x \in \operatorname{Kern} \left( T^{-1}AT \right) \end{eqnarray}$ Umstellen nach $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} x = T^{-1} v \end{eqnarray}$ Elemente des Kerns werden auf $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ abgebildet, also $\begin{eqnarray} 0 = T^{-1}AT \cdot x = T^{-1}AT \cdot T^{-1} v = T^{-1} Av \end{eqnarray}$ Jetzt überlege selbst, wie das weitergeht, und führe das zu Ende. Danach mußt du auch noch $\begin{eqnarray} T \cdot \operatorname{Kern} \left( T^{-1}AT \right) \supseteq \operatorname{Kern}(A) \end{eqnarray}$ nachweisen.
13.07.2012, 10:28	blahbel	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey, danke für die Hilfe! Ich würd jezz so weitermachen: T^-1 ist invertierbar, hat also vollen Rang und kann also T^-1AV nicht 0 werden lassen. Also muss Av = 0 sein, also ist v im Kern von A. Für die andere Richtung habe ich folgenede Idee, kann man das so machen? Zeige nun: Kern(A) ist Untermenge von TKern(T^-1AT) Sei v aus Kern(A), also Av = 0. v = TT^-1v. Damit die Behauptung gilt, muss also gelten: T^-1v ist Element von Kern(T^-1AT), das heißt: T^-1ATT^-1v=0 also T^-1Av=0 und weil A*v=0 folgt 0=0, also stimmt die Behauptung. Vielen dank für die Hilfe!

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