Zentralen Grenzwertsatz und Tschebyscheff-Ungleichung

30.01.2007, 20:33	schlomo76	Auf diesen Beitrag antworten »
Zentralen Grenzwertsatz und Tschebyscheff-Ungleichung Ich habe die Varianz gegeben mit $\begin{eqnarray} \sigma^2 = 6.25[s^2] \end{eqnarray}$ Nun ist nach der Anzahl der Messungen gefragt, einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $\begin{eqnarray} 0.9 \end{eqnarray}$ die Differenz $\begin{eqnarray} \|\overline{X} - \mu\| \end{eqnarray}$ kleiner als $\begin{eqnarray} 0.1 \end{eqnarray}$ ist? Wie gehe ich vor, wenn ich a) einmal den Zentralen Grenzwertsatz verwenden soll und b) die Tschebyscheff-Ungleichung?
31.01.2007, 00:15	schlomo76	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zentralen Grenzwertsatz und Tschebyscheff-Ungleichung Ich hab bei B) $\begin{eqnarray} P(\|\overline{X}-\mu\|<0,1) \geq 0,9= 1-\frac{\sigma^2\cdot \frac{1}{n}}{0,1^2} \end{eqnarray}$ genohmen und $\begin{eqnarray} 6250 \end{eqnarray}$ raus, ist das richtig?
31.01.2007, 08:07	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Es wäre angebracht, die Grundannahmen der Aufgabe ordentlich zu formulieren! Ich versuche das mal, so wie ich sie verstehe - korrigiere mich, wenn ich falsch liege: Du hast eine Folge unabhängig identisch verteilter Zufallsgrößen $\begin{eqnarray} X_1,X_2,\ldots \end{eqnarray}$ mit den Einzelvarianzen $\begin{eqnarray} \operatorname{var}(X_k)=\sigma^2 \end{eqnarray}$ vorliegen und betrachtest nun den Mittelwert $\begin{eqnarray} \bar{X} = \frac{X_1 + \cdots + X_n}{n} \end{eqnarray}$ . Vielleicht hältst du es ja nicht für nötig, diesen Vorspann darzulegen - ich schon! ---------------------------------------------------------------------- Jetzt zu Tschebyscheff, wegen $\begin{eqnarray} \operatorname{var}(\bar{X}) = \frac{\sigma^2}{n} \end{eqnarray}$ lautet der hier $\begin{eqnarray} P( \| \bar{X}-\mu \| \geq \varepsilon ) \leq \frac{\sigma^2}{n\varepsilon^2} \end{eqnarray}$ bzw. als Komplement $\begin{eqnarray} P( \| \bar{X}-\mu \| < \varepsilon ) \geq 1-\frac{\sigma^2}{n\varepsilon^2}\qquad () \end{eqnarray}$ . Gut, dann wird noch $\begin{eqnarray} \varepsilon=0.1 \end{eqnarray}$ eingesetzt. Der Gedanke ist nun folgender: Ist bereits die rechte Seite von () größer als 0.9, dann erst recht auch die linke Seite. Das $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ , was man auf diese Weise ermittelt, ist also hinreichnend groß zur Erfüllung der Ungleichung $\begin{eqnarray} P( \| \bar{X}-\mu \| < 0.1) \geq 0.9 \end{eqnarray}$ , aber es ist nicht notwendig so groß zu wählen! Dessen sollte man sich immer bewusst sein, denn man hat es nicht durch Äquivalenzumformung der Ungleichung $\begin{eqnarray} P( \| \bar{X}-\mu \| < 0.1) \geq 0.9 \end{eqnarray}$ erhalten, sondern erst nach Zwischenschaltung der bekanntermaßen ziemlich groben Tschebyscheff-Ungleichung. Dass das eigentlich notwendige $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ kleiner ist, zeigt dann der zweite Teil mit der Normalverteilungsapproximation. Die hat aber dann wiederum den Nachteil, dass sie als Approximation nach beiden Seiten ausschlagen kann, das somit ermittelte Grenz- $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ als "unsicher" gilt. Wahre Sicherheit bei gleichzeitig besserer Güte bietet nur das Auffahren stärkerer "Waffen" wie etwa der Berry-Esseen-Ungleichung. Oder aber die genaue Kenntnis der Verteilung der $\begin{eqnarray} X_k \end{eqnarray}$ , dann kann man das $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ genau ausrechnen, wenn auch u.U. mit sehr viel Aufwand und nur numerisch...
31.01.2007, 08:30	schlomo76	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein so hatte ich die Aufgabe so nicht gegeben, ich hab mir das nur zusammengereimt. Sie hieß so: Die tatsächlich benötigte CPU-Zeit einer Sitzung an einer Workstation werde (aufgrund einer Langzeitstudie) als eine Zufallsvariable mit unbekanntem Erwartungswert $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ und bekannter Varianz $\begin{eqnarray} \sigma^2 = 6.25[s^2] \end{eqnarray}$ angenommen. Wieviele unabhängige Messungen der CPU-Zeiten sollen vorgenommen werden, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 0.9 die Differenz $\begin{eqnarray} \|\overline{X} - \mu\| \end{eqnarray}$ kleiner als 0.1 ist? EDIT: Hast du noch einen Tip für den Zentralen Grenzwertsatz?
31.01.2007, 10:04	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Wieso "Nein", das ist doch sinngemäß genau das, was ich geschrieben habe... Ok, zum ZGWS: Der besagt, dass $\begin{eqnarray} \sqrt{n}(\bar{X}-\mu) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} n\to\infty \end{eqnarray}$ näherungsweise standardnormalverteilt ist. Für das vorliegende Problem nehmen wir daher ganz frech an, dass es um so große $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ geht, dass der Approximationsfehler bereits vernachlässigbar klein ist (dass eine solche Annahme auch problematisch sein kann, habe ich oben drauf hingewiesen). Dann kann man rechnen $\begin{eqnarray} P( \| \bar{X}-\mu \| < \varepsilon) = P( \sqrt{n}\| \bar{X}-\mu \| < \sqrt{n}\varepsilon) = P( -\sqrt{n}\varepsilon < \sqrt{n}(\bar{X}-\mu) < \sqrt{n}\varepsilon) \approx \Phi(\sqrt{n}\varepsilon) - \Phi(-\sqrt{n}\varepsilon) = 2\Phi(\sqrt{n}\varepsilon)-1 \end{eqnarray}$ , mit der Verteilungsfunktion $\begin{eqnarray} \Phi \end{eqnarray}$ der Standardnormalverteilung, wobei rechts noch die Symmetrieeigenschaft $\begin{eqnarray} \Phi(-t)=1-\Phi(t) \end{eqnarray}$ zur Anwendung kam. Jetzt noch $\begin{eqnarray} \varepsilon=0.1 \end{eqnarray}$ in die Ungleichung $\begin{eqnarray} P( \| \bar{X}-\mu \| < \varepsilon)\geq 0.9 \end{eqnarray}$ eingesetzt ergibt sich $\begin{eqnarray} 2\Phi(0.1\cdot \sqrt{n})-1 \geq 0.9 \end{eqnarray}$ bzw. umgestellt $\begin{eqnarray} \Phi(0.1\cdot \sqrt{n}) \geq 0.95 \end{eqnarray}$ . Mit Normalverteilungsquantilen $\begin{eqnarray} z_{\alpha} \end{eqnarray}$ geschrieben (quasi die "Umkehrfunktion" gemäß $\begin{eqnarray} \Phi(z_{\alpha})=\alpha \end{eqnarray}$ ) ist das äquivalent zu $\begin{eqnarray} 0.1\cdot \sqrt{n} \geq z_{0.95} \end{eqnarray}$ , und das kannst du nach $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ umstellen, wobei $\begin{eqnarray} z_{0.95} \end{eqnarray}$ in einschlägigen Tabellen nachlesbar ist bzw. du hast ein Computerprogramm dafür - wie es dir besser gefällt.
31.01.2007, 10:30	schlomo76	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja danke, das war sehr ausführlich, wabei ich mich über mich ärgere, daß mir nicht die Zwischenschritte einfallen.
Anzeige

17.01.2010, 19:52	bla	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry, das ich so einen alten threat ausgrabe, aber ich ahbe grade ein ähnliche aufgabe und glaube, hier kann was nicht passen. - beim zgws geht in keiner Weise die Varianz in die Rechnung ein?!

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »