Gruppen der Ordnung 385

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Slash123 Auf diesen Beitrag antworten »
Gruppen der Ordnung 385
Hallo,

es geht um die Gruppen G der Ordnung .

Den abelschen Fall will ich hier nicht diskutieren, der ist klar. Ich will also den Fall diskutieren, in dem die Anzahl an 5-Sylow-Untergruppen gleich 11 ist.

Es gibt genau eine 7-Sylow Untergruppe, ebenso genau eine 11-Sylow Untergruppe.

Also gilt:

, wobei mit ein Gruppenhomomorphismus.

Da aber und in wegen kein Element der Ordnung 2, 3 oder 6 existiert, ist trivial und es gilt .

Da ich den abelschen Fall auslasse, muss sein.

Passt das so? Bin mir da noch relativ unsicher und würde mich freuen, wenn da mal wer drüber schaut. Vielen Dank im Voraus!
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Ja das passt so Freude

Vielleicht nochmal genau begründen, warum G ein semidrektes Produkt aus und einer Untergruppe der Ordnung 55 ist.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppen der Ordnung 385
Wenn du mich fragst, ist das alles total verkehrt... geschockt ist der Normalteiler auf dem per Konjugation operiert...

Edit: Mit anderen Worten, du musst die beiden Normalteiler und zusammennehmen zu einem neuen Normalteiler ...
tmo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppen der Ordnung 385
Zitat:
Original von Mystic
Wenn du mich fragst, ist das alles total verkehrt... geschockt ist der Normalteiler auf dem per Konjugation operiert...

Edit: Mit anderen Worten, du musst die beiden Normalteiler und zusammennehmen zu einem neuen Normalteiler ...


Klar kann man das auch so machen (wäre auch von mir der bevorzugte Weg, weil man sich offensichtlich etwas Arbeit spart), aber ändert das was daran, dass die Überlegungen von Slash123 richtig waren? verwirrt

Einziges Problem könnte sein, dass es manchmal Konvention ist, dass direkte Produkt nur für abelsche Gruppen zu verwenden. Aber das ist ja nur ein "Schönheitsmakel".

Ohne es nachzurechnen würde meine Intuition sagen, dass

gilt.

Dabei ist , operiert also auf wie und auf trivial.

Also so ne Art Assoziativgesetz für die Mischung aus direktem und semidirektem Produkt.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppen der Ordnung 385
Ja, sorry, diese Sicht der Dinge war mich derart ungewohnt, dass ich mich zu obigem vorschnellen Urteil hinreißen liess... unglücklich

Allgemeiner gilt übrigens: Ist n=pqr für drei Primzahlen p<q<r und gilt genau eine der drei Bedingungen p|q-1, p|r-1,q|r-1, so gibt es genau 2 Gruppen der Ordnung n bis auf Isomorphie...
Slash123 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Antworten... Der Punkt von Mystic war auch der, bei dem ich mir nicht so sicher war.

Was mich daran nur verwirrt hat, ist, wie man auf diese Art und Weise zeigt, dass in der ersten Komponente trivial ist (deswegen hab ich es anders gemacht).

Es gilt dann ja

Wegen und wüsste ich nicht, wie man das zeigt... aber vermutlich habe ich nur (wie immer) ein Brett vorm Kopf (kommt bei mir bei leichten Sachen leider erschreckend oft vor...).

@ Mystic: Vielen Dank für die Hinweise mit n = pqr und p < q < r mit dieser Zusatzbedingung. =)
 
 
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Slash123
Es gilt dann ja

Wegen und wüsste ich nicht, wie man das zeigt... aber vermutlich habe ich nur (wie immer) ein Brett vorm Kopf (kommt bei mir bei leichten Sachen leider erschreckend oft vor...).

Ja, deine Ausführungen sind natürlich formal alle richtig, nur solltest dir dazu auch noch überlegen, was das de facto eigentlich alles bedeutet, nämlich dieses:

Die Automorphismen im Bild sind vollständig beschreibbar durch durch ihre beiden Einschränkungen auf bzw. , d.h., bei dem Isomorphismus



wird eigentlich abgebildet auf ... Damit sollte aber, da keine Elemente der Ordnung 5 enthält, klar sein, dass stets der triviale Homomorphismus auf das Einselement ist... Im Kern zeigt dies - für mich und im Nachhinein - dass deine Überlegungen im ersten Posting, wie schon von tmo ausgeführt eigentlich richtig waren...

Edit: Wenn man versucht, das formal wirklich genau auszuführen, schleichen sich leider jede Menge Fehler ein, obwohl anschaulich alles sonnenklar ist... Augenzwinkern
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Slash123
Wegen


Achtung: Es ist , insbesondere also nicht zyklisch.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

@Slash123

Ja, ich hatte mich oben eigentlich nur auf diesen Teil

Zitat:
Original von Mystic
[...]

deiner Ausführungen bezogen und dessen Richtigkeit bestätigt... Dass insgesamt "etwas nicht stimmt", war dir ja schon selbst aufgefallen und tmo hat ja inzwischen auch ausgeführt, worin genau dein Trugschluß bestand...
Slash123 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für die guten Antworten.

Habe mittlerweile im Algebra I Skript folgenden Satz gefunden, den ich eigentlich kennen sollte:

mit

Dankeschön. =)
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