Adjunkte, adjungierte Matrix

30.01.2007, 20:48

Milkaschokolade

Adjunkte, adjungierte Matrix

Hallo,

lerne gerade Matrizen...

Hab ich es richtig verstanden, dass die Adjunkte(i,j) die Matrix ist, welche entsteht, wenn aus meiner Ausgangsmatrix die i-te Zeile und j-te Spalte gestrichen werden und das Ergebnis dann mit $\begin{eqnarray*} (-1)^{i+j} \end{eqnarray*}$ multipliziert wurde?
--> damit kann man dann die Determinante berechnen (Laplacescher Entwicklungssatz)

Ist es weiterhin richtig, dass man das inverse Element $\begin{eqnarray*} a^{-1} (i,j) \end{eqnarray*}$ mit Hilfe der Adjunkte(j,i) * 1/det A berechnen kann?

Und dann noch: In meinem Buch (Papula) steht noch etwas von einer adjungiertem Matrix. So wie ich das Buch verstehe ist die adjungierte Matrix einfach die transponierte Matrix. Mit der adjungierten Matrix soll man angeblich die Inverse berechnen können und zwar nach:

$\begin{eqnarray*} A^{-1} = \frac{1}{det A} * adjungierte Matrix \end{eqnarray*}$

Dies würde aber dann doch heißen, dass man die Inverse auch mit

$\begin{eqnarray*} A^{-1} = \frac{1}{det A} * A^{T} \end{eqnarray*}$

berechnen kann, da laut meinem Buch $\begin{eqnarray*} A^{T} = adjungierte Matrix \end{eqnarray*}$ gilt.

Dass jedoch $\begin{eqnarray*} A^{-1} = \frac{1}{det A} * A^{T} \end{eqnarray*}$ gilt, hab ich noch nirgendswo gefunden und auch als ich es einmal ausprobierte, klappte es nicht...

Hab ich jetzt bezüglich der adjungierten Matrix etwas falsch verstanden?

Falls es jmd hilft: Ich beziehe mich auf die 10. Auflage von Papula 2, Seite 52.

30.01.2007, 23:09

reBourne

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Da ich das gleiche Buch (in der gleichen Auflage) schonmal besitze habs ichs mal ebend kontrolliert :

Und ich muss sagen mir ist nichts ungewöhnliches aufgefallen ,die Definitionen haben alle ihre Richtigkeit .(kein gewähr)

Zugegeben finde ich es etwas aufwändig erklärt und es könnte missverständlichkeiten geben.

Am besten du rechnest deine Aufgabe hier nochmal vor und zeigts uns woran du gescheitert bist und wie du darauf gekommen bist : so zu rechnen .

Dann können wir dir gerne weiterhelfen smile

mfg

reBourne

30.01.2007, 23:15

GDY

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Ich habe jetzt Papula nicht gelesen, aber wenn ich mich recht entsinne wird die Inverse Matrix folgendermassen berechnet:

$\begin{eqnarray*} A^{-1} = \frac{1}{det(A)}*A^{\mathsterling} \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} A^{\mathsterling} \end{eqnarray*}$ , die nach meinem Begriffverständniss, die Adjunkte oder komplementäre Matrix zu $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ genannt wird.

Die bestimmt sich dann durch

$\begin{eqnarray*} A^{\mathsterling} = ( (-1)^{i+j}*det(A_{i,j}^{'}) )^T \end{eqnarray*}$ ,

also etwas anschaulicher:

$\begin{eqnarray*} A^{\mathsterling} = \begin{pmatrix} (-1)^{1+1} * det(A_{1,1}^{'}) & \ldots & (-1)^{1+j}*det(A_{1,j}^{'}) \\ \ldots & \ldots & \ldots \\ (-1)^{i+1}*det(A_{i,1}^{'}) & \ldots & (-1)^{i+j}*det(A_{i,j}^{'}) \end{pmatrix}^T \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} A_{i,j}^{'} \end{eqnarray*}$ eine eine Streichmatrix so wie du sie genannt hast ist (allerdings ohne $\begin{eqnarray*} (-1)^{i+j} \end{eqnarray*}$ auf das Ergebnis anzuwenden). Dabei nennt man $\begin{eqnarray*} det(A_{i,j}^{'}) \end{eqnarray*}$ Minoren (die kommen bei dem Satz von Laplace vor).

Weiterhin gibts dann noch Matrizen $\begin{eqnarray*} A_{i,j} \end{eqnarray*}$ (also diesmal ohne denn Strich oben), die enstehen, wenn man die i-te Zeile komplett mit 0 ersetzt, die j-te Spalte mit 0 ersetzt, nur quasi wo sich Spalte und Zeile schneiden setzt $\begin{eqnarray*} a_{ij} = 1 \end{eqnarray*}$ .

Dann gilt:
$\begin{eqnarray*} det(A_{i,j}) = (-1)^{i+j} \cdot det(A_{i,j}^{'}) \end{eqnarray*}$ (die kommen beim Satz vom Laplace letztendlich auch vor.

Was nun eine "adjungierte Matrix" ist, weiss ich auch nicht ^^ Ich hätte spontan gedacht das wär einfach die Adjunkte (nach meiner Definition), anscheinend ist sie aber wirklich einfach die transponierte Matrix (in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ).

31.01.2007, 13:01

Mazze

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Entweder Druckfehler oder Du hast dich Verlesen die Adjunkte MAtrix ist wie folgt definiert:

Sei A eine quadratische Matrix und $\begin{eqnarray*} A_{ij} \end{eqnarray*}$ die Matrix in der die Zeile i und die Spalte j aus A gestrichen wurden. Setze:

$\begin{eqnarray*} (A^*)_{ij} = (-1)^{i+j}det(A_{ij}) \end{eqnarray*}$

so heißt die Matrix $\begin{eqnarray*} A^* \end{eqnarray*}$ die adjunkte zu A. Für invertierbare Matrizen A gilt:

$\begin{eqnarray*} A^{-1} = \frac{1}{det(A)}(A^*)^T \end{eqnarray*}$

Und jetzt zur adjungierten:

Die adjungierte Matrix B zu einer Matrix A ist eine Matrix so das

$\begin{eqnarray*} <Ax,y> = <x,By> \end{eqnarray*}$

(das geht auch für andere Skalarprodukte)

gilt. Es muss hier sehr wohl unterschieden werden zwischen Adjunkte und Adjungierte.

01.02.2007, 19:55

Milkaschokolade

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Also,

ich hab heute nochmal genau nachgelesen (anscheinend war es gestern zu spät...).

Laut Papula ist die adjungierte Matrix eben doch nicht die transponierte Matrix.

Die adjungierte Matrix ist (laut Papula) die Matrix, welche entsteht, wenn man die einzelnen inversen Elemente einer Ausgangsmatrix A berechnet, bevor man jedes einzelne noch durch die det (A) teilt.
Also quasi die Matrix aus den transformierten Adjunkten...

Ich hoffe jetzt habe ich es richtig verstanden.

@Mazze bzw. alle anderen: Ich glaube deine Definition unterscheidet sich noch von der aus dem Papula, deckt sich aber mit der Wikipedia-Definition.
Vielleicht kannst du zu deiner Definition ein Beispiel posten, da ich sie jetzt noch nicht verstanden hab...

Ist die Definition im Papula dann falsch? Wie gesagt: Papula 2, 10. Auflage, S. 52

EDIT: Habe gerade noch im Artikel gelesen: Laut Wikipedia ist die adjungierte Matrix mit reellen Zahlen die transponierte Matrix...

*verwirrt-bin*

04.02.2007, 11:42

Mazze

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Aus dem Wiki:

Zitat:

In der linearen Algebra ist die zu einer reellen oder komplexen quadratischen Matrix A adjungierte Matrix A * eine Matrix, die eine bestimmte Vertauschungsbedingung für Skalarprodukte erfüllt.

Genau das hab ich auch geschrieben. Es ist:

$\begin{eqnarray*} <Ax,y> = y^TAx = (A^Ty)^Tx = <x,A^Ty> \end{eqnarray*}$

Deshalb sind im reellen VR die transponierten Matrizen die adjungierten. Und wie ich es schon gesagt habe:

Es ist zwischen Adjunkte und Adjungierte Matrix zu unterscheiden.

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