Integral vom sin eigentlich divergent

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TommyAngelo Auf diesen Beitrag antworten »
Integral vom sin eigentlich divergent
Wir wissen ja, dass nicht existiert.
Ich könnte das aber so umschreiben:



aber

divergiert

Meine Behauptung ist jetzt: Das Integral existiert, wenn die Funktion innerhalb der jeweiligen Integralgrenzen das Vorzeichen nicht wechselt und die Reihe konvergiert.

Stimmt's?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integral vom sin eigentlich divergent
Per Definition ist

Du hast gerade zwei Folgen gefunden, für die dieser Grenzwert unterschiedliche Werte annimmt, daraus folgt, dass das Integral nicht existiert.

Das ist so, als würdest du auf zurückführen wollen.

Das Problem ist, dass du diese unendliche Summe hier nicht einfach zu einem Intervall zusammenfassen kannst. Die Summe ergibt zwar Null, aber das, wozu du es umschreiben möchtest, existiert nicht.

Die Behauptung dürfte nicht stimmen. Wenn die Integrale eine alternierende Reihe bilden, kann die konvergieren, aber die Funktion ist trotzdem nicht integrierbar.

mfg,
Ché Netzer
TommyAngelo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integral vom sin eigentlich divergent
Zitat:
Original von Che Netzer
Wenn die Integrale eine alternierende Reihe bilden, kann die konvergieren, aber die Funktion ist trotzdem nicht integrierbar.

Ja klar, aus der Konvergenz folgt nicht automatisch die absolute Konvergenz.
Wenn ich die Integralgrenzen (jeweils in der Summe, abhängig vom Laufindex) aber so wähle, dass der Integrand dort jeweils entweder positiv oder negativ ist (damit von vornherein nicht schon eine Bilanz rauskommt), dann kann in der unendlichen Summe nichts schiefgehen, d.h. falls sie konvergiert, existiert auch das Integral, oder?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integral vom sin eigentlich divergent
Das meine ich doch: Wenn die Funktion in Intervallen mit geradem Index immer positiv und sonst negativ ist, erhält man trotzdem eine alternierende Reihe.
Z.B. mit den Intervallen mit und . Da hat man auch eine Zerlegung von (oder anderem Startwert), wobei der Integrand jeweils negativ oder positiv ist:

Die Reihe konvergiert bekanntlich, aber ist nicht integrierbar.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integral vom sin eigentlich divergent
Zitat:
Original von TommyAngelo
Wenn ich die Integralgrenzen (jeweils in der Summe, abhängig vom Laufindex) aber so wähle, dass der Integrand dort jeweils entweder positiv oder negativ ist (damit von vornherein nicht schon eine Bilanz rauskommt), dann kann in der unendlichen Summe nichts schiefgehen, d.h. falls sie konvergiert, existiert auch das Integral, oder?

Angenommen, die Funktion ist nichtnegativ, wie von dir gewünscht, und das Integral über eine volle Periode positv...Wie kann dann eine Reihe, deren Glieder gleiche positive Werte sind, je konvergieren? geschockt
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integral vom sin eigentlich divergent
Zitat:
Original von Che Netzer
Das meine ich doch: Wenn die Funktion in Intervallen mit geradem Index immer positiv und sonst negativ ist, erhält man trotzdem eine alternierende Reihe.
Z.B. mit den Intervallen mit und . Da hat man auch eine Zerlegung von (oder anderem Startwert), wobei der Integrand jeweils negativ oder positiv ist:

Die Reihe konvergiert bekanntlich, aber ist nicht integrierbar.

Dieses f ist doch über dem Interall integrierbar. Es ist ebenso integrierbar wie



Da oszilliert der Integrand mit wachsendem x auch immer schneller zwischen -1 und 1.
 
 
Nubler Auf diesen Beitrag antworten »

stichwort: satz von bozano-weierstraß
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integral vom sin eigentlich divergent
Zitat:
Original von Huggy
Dieses f ist doch über dem Interall integrierbar.

Jetzt bin ich irritiert. Wie kann f integrierbar sein, obwohl der Betrag nicht integrierbar ist?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integral vom sin eigentlich divergent
Damit f integrierbar ist, muss f doch nicht absolut integrierbar sein. Wenn f allerdings absolut integrierbar ist, ist es natürlich auch integrierbar.
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integral vom sin eigentlich divergent
Hm, dann gibt es Riemann-integrierbare Funktionen, die nicht Lebesgue-integrierbar sind?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integral vom sin eigentlich divergent
Ja, zumindest bei uneigentlichen Integralen.
TommyAngelo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integral vom sin eigentlich divergent
Zitat:
Original von MysticWie kann dann eine Reihe, deren Glieder gleiche positive Werte sind, je konvergieren? geschockt

Die Konvergenz setze ich ja voraus. "Falls so eine Reihe konvergiert und der Integrand jeweils in den Grenzen..."

Ich spreche natürlich von der Riemann-Integrierbarkeit, klar.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integral vom sin eigentlich divergent
@TommyAngelo

Ja, ich habe wohl nicht verstanden, worum es hier genau geht und zieh mich besser zurück... Wink
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Für das Riemann-Integral dürfte deine Behauptung stimmen, ich garantiere aber für nichts.

Hast du aber schonmal vom Integralkriterium gehört?
TommyAngelo Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, aber ich beschränke mich ja nicht auf monoton fallende Funktionen.
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Klar, aber das dürfte ein recht ähnlicher Fall sein. Im Beweis dazu wird man sicher f nach oben abschätzen und damit auch das Integral. Wenn man das Integral dann schon direkt benutzen kann, ginge da bestimmt auch etwas.
speedyschmidt Auf diesen Beitrag antworten »

Ist die Frage jetzt eigentlich beantwortet?

Falls nicht, wähle einfach zu Deinem nicht-negativen die Approximation und nutze monotone Konvergenz.
TommyAngelo Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, ist eigentlich beantwortet. Danke!
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