Rang einer (m,n)-Matrix

13.07.2012, 12:40

Anahita

Rang einer (m,n)-Matrix

Hi

Ich habe ein paar noch sehr allgemeine Fragen zum Rang einer Matrix, bin mich gerade am einarbeiten:

Liegt eine (m,n) Matrix vor, ist der Rang dieser höchstens gleich der kleineren der beiden Zahlen m,n. Der Rangsatz besagt dann für beliebige Matrizen über einen Körper, dass der Spalten- und der Zeilenrang übereinstimmen. Der Rang ist dabei die Anzahl unabhängiger Spalten/Zeilenvektoren oder alternativ die Dimension des Bildes einer Matrix. Letzeres daher, weil das Bild einer Matrix (bzw einer linearen Abbildung) gleich dem Span der Spaltenvektoren ist (also Anzahl lineare unabhängige Spalten, siehe oben).

Ich weiss auch, dass wenn eine lineare Abbildung injektiv ist, der Nullvektor auf den Nullvektor abgebildet wird und deswegen der Kern dieser Abbildung dann dem Nullvektor entspricht.

Was ich noch nicht verstehe, sind die folgenden Punkte:

- Für eine (m,n) Matrix A ist der Rang = n - Dim Kern(A)
-> Meine Frage: Warum "n" und nicht "m" (wenn der Zeilenrang dem Spaltenrang entspricht - sollte es nicht aufs Gleiche hinauslaufen?)? Entspricht damit die Dimension des Zeilenraumes nicht der Dimension des Spaltenraumes?
- Was haben die Zeilen, die mit dem Gaussalgorithmus wegfallen, dh linear abhängig sind von den anderen Zeilen, mit dem Kern zu tun?
- Zudem wurde mir gesagt, dass es intuitiv klar ist, warum dim Kern(A) = n -Rang(A) ist - mir ist das aber nicht klar..ist der Rang der Matrize kleiner als n, heisst das, dass zusätzliche
- Zudem habe ich folgende Notiz: Injektiv <-> Kern(A) = 0 <-> Rang A = n. Problem bei m<n, dann NIE injektiv, denn dim Kern(A) = n - Rang A >= n - m > 0. Was ist damit gemeint?

Sorry falls alles sehr vage ist...
Lg

14.07.2012, 01:30

ppaul

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Zitat:

Ich weiss auch, dass wenn eine lineare Abbildung injektiv ist, der Nullvektor auf den Nullvektor abgebildet wird und deswegen der Kern dieser Abbildung dann dem Nullvektor entspricht.

Der Nullvektor wird immer auf den Nullvektor abgebildet. Somit enthält der Kern einer linearen Abbildung immer den Nullvektor. Eine lineare Abbildung ist genau dann injektiv, wenn der Kern nur aus dem Nullvektor besteht.

Zitat:

- Für eine (m,n) Matrix A ist der Rang = n - Dim Kern(A) -> Meine Frage: Warum "n" und nicht "m" (wenn der Zeilenrang dem Spaltenrang entspricht - sollte es nicht aufs Gleiche hinauslaufen?)? Entspricht damit die Dimension des Zeilenraumes nicht der Dimension des Spaltenraumes?

Ich gehe mal davon aus, dass bevor diese Behauptung aufgestellt wurde, davon ausgegangen wird, dass n<m gilt. Wie du bereits sagtest, ist der Rang einer Matrix höchstens gleich der kleineren der beiden Zahlen m,n.

Zitat:

- Was haben die Zeilen, die mit dem Gaussalgorithmus wegfallen, dh linear abhängig sind von den anderen Zeilen, mit dem Kern zu tun?

Was meinst du mit wegfallen?

Zitat:

- Zudem habe ich folgende Notiz: Injektiv <-> Kern(A) = 0 <-> Rang A = n. Problem bei m<n, dann NIE injektiv, denn dim Kern(A) = n - Rang A >= n - m > 0. Was ist damit gemeint?

Wenn m<n gilt, kann der Rang A nicht gleich n sein, weil wie du schon richtig festgestellt hast, ist der Rang einer Matrix höchsten gleich der kleineren der beiden Zahlen m,n.

Zitat:

- Zudem wurde mir gesagt, dass es intuitiv klar ist, warum dim Kern(A) = n -Rang(A) ist - mir ist das aber nicht klar..ist der Rang der Matrize kleiner als n, heisst das, dass zusätzliche

Was genau ist dir hierbei noch unklar?

14.07.2012, 11:07

Anahita

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Hi. Vielen Dank.
Mir ist zum letzten Punkt nicht klar, was der Zusammenhang zwischen der Dimension des Kernes und der linear abhängigen Zeilenvektoren ist...ich kann es nicht herleiten und mir selbst auch nicht an einem Beispiel erklären. Ausserdem verstehe ich einfach nicht, weshalb der Rang der Matrix über die Dimension des Spaltenraumes definiert wird - sollte der Rang nicht sowieso immer auch äquivalent zu der Dimension des Zeilenraumes sein?

14.07.2012, 15:43

ppaul

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Also definieren kann man ja alles wie man lustig ist. Definitionen sind einfach nur Festlegungen, die irgendwann getroffen wurden. Aus Definitionen können dann zum Beispiel Sätze abgeleitet und bewiesen werden, wie z.B. das Dimension des Spaltenraums gleich der Dimension des Zeilenraums ist. Es wäre auch möglich gewesen den Rang einer Matrix über die Dimension des Zeilenraums zu definieren und somit den Satz der Gleichheit zur Dimension des Spaltenraums zu beweisen. Ich hoffe dir wird klar was ich damit meine.
Dimesion des Kerns entspricht der Anzahl der linear abhängigen Zeilenvektoren bzw. Spaltenvektoren. Mit Hilfe des Gauß-Algorithmus kann man die Matrix ist eine entsprechende Form bringen, so dass man die nötigen Information ablesen kann. Naja und die Anzahl der Nullzeilen bzw. Nullspalten ist die Dimension des Kerns. Was für ein Beispiel hättest du da gerne?

14.07.2012, 17:25

carm561

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Für eine (m,n) Matrix A gilt immer die Gleichung Rang(A) = n - Dim Kern(A).
Warum n und nicht m? Weil A eine Abbildung von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^m \end{eqnarray*}$ ist. Das zeichnet hier n vor m aus.
Wie kann man die Gleichung motivieren? A bildet gewisse Vektoren aus $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ auf Null ab. Diese Vektoren bilden den Vektorraum Kern(A). Wenn du eine Basis von Kern(A), sagen wir aus den Vektoren $\begin{eqnarray*} b_1,\ldots,b_k \end{eqnarray*}$ , zu einer Basis von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ ergänzt, sagen wir mit den Vektoren $\begin{eqnarray*} b_{k+1},\ldots,b_n \end{eqnarray*}$ , dann spannen die n-k Bilder $\begin{eqnarray*} Ab_{k+1},\ldots,Ab_n \end{eqnarray*}$ den Vektorraum Bild(A) auf.
Also ist Rang(A)=Dim Bild(A)=n-k=n-Dim Kern(A).

Zu deiner Notiz: Wenn m<n, dann ist die Abbildung nie injektiv.
Das kannst du dir grob so vorstellen, dass du vom "größeren" Raum $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ in den "kleineren" $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^m \end{eqnarray*}$ abbildest. Im kleineren ist einfach nicht genug Platz, und deshalb müssen einige Elemente aus $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ auf das gleiche Element in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^m \end{eqnarray*}$ abgebildet werden.
Wie gesagt, grob Wink

14.07.2012, 21:58

Anahita

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Das hilft mir in meiner Verwirrtheit EXTREM weiter, danke!

Wenn wir das ganze nicht mehr auf Abbildungen beziehen sondern auf eine (m,n)-Matrix. Auf dieses wende ich nun den Gaussalgorithmus an - warum gibt mir wie bereits gefragt die Anzahl der Nullzeilen die Dimension des Kernes an? Pro Zeile der Matrix in Zeilenstufenform, welche gleich Null ist, fällt ja eine Gleichung weg was ja bedeutet, dass eine zusätzliche Variable frei ausgewählt werden kann, oder? Was genau hast das mit dem Kern zu tun..?
Danke, danke, danke...

15.07.2012, 23:36

carm561

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Habe mich nur eingemischt, weil ppauls Annahme bzgl. der Gleichung Rang(A) = n - Dim Kern(A) nicht zutreffend ist: Die Voraussetzung n<m ist nicht nötig.
War wohl keine gute Idee. Ich bin dann wieder weg.

16.07.2012, 00:44

Anahita

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"War wohl keine gute Idee" weil ich weitere Fragen stelle?? Sorry, weshalb genau ist dieses Forum da? Ich kriege fast nur unhöfliche Antworten hier........also wenns drum geht, keine weiteren Fragen zu stellen oder nur superintelligente Fragen zu stellen, dann ist das Forum wohl sinnlos...komisches Verhalten hier, echt...

16.07.2012, 00:47

carm561

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ich hatte den Eindruck, dass mein Beitrag für dich nicht hilfreich war und ehe ich dich weiter verwirre, wollte ich mich heraushalten.
Edit: Keine gute Idee, dass ich mich eingemischt habe, so war das gemeint

16.07.2012, 00:51

Anahita

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ich hab ja offensichtlich geschrieben, dass es "EXTREM hilfreich" war, schiebs also nicht auf mich ab, wenn du keine lust hast/dir meine antwort zu blöd ist. mir liegt offensichtlich etwas am verstehen der zusammenhänge und wenn du alles auf einen schlag ohne fragen verstanden hast: good for you. danke fürs demotivieren, lovely.

16.07.2012, 00:56

carm561

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Du weißt schon, dass Großschreibung üblicherweise als schreien gilt? Deshalb habe ich dein "EXTREM hilfreich" als ironischen Beitrag von Dir gelesen und kam also zum Schluss, dass es für dich nicht hilfreich war sondern dich im Gegenteil noch mehr verwirrte. Wenn ich damit falsch lag, tut es mir leid.

16.07.2012, 01:19

carm561

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Um aber auch auf deine Frage zu antworten: Die Anzahl der Nullzeilen in der Zeilenstufenform gibt nicht unbedingt die Dimension des Kernes an. Nimm die (4,5)-Matrix A
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1&0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 &0 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$
Sie ist in Zeilenstufenform, ihr Rang ist 3, also Dim Kern(A)=5-3=2. Die Matrix hat aber nur eine Nullzeile.
Edit: Für quadratische (n,n)-Matrix stimmt es übrigens: Angenommen, du hast r Nullzeilen in der Zeilenstufenform. Dann ist der (Zeilen)Rang gleich n-r und Dim Kern(A)=n-Rang (A)= n-(n-r)=r

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