Invertierbarkeit von AA^T

14.07.2012, 14:23	Lila123	Auf diesen Beitrag antworten »
Invertierbarkeit von AA^T Meine Frage: hallo ihr lieber, brauche dringend eure Hilfe... Gls ist gegeben: $\begin{eqnarray} <br /> A^T=\nabla f(x)<br /> \end{eqnarray}$ wobei A eine Matrix die aus Gradientenvektoren besteht es steht weiter $\begin{eqnarray} A\, besteht\, aus \,verschiedene\, Gradienten\, und\, hat\, volle\, rang, \,dass\, muss \,eindeutige\, Losung \,von \\A^Tx=\nabla f(x)\\ implizieren,\,???WARUM \,\\ \end{eqnarray}$ 2)Weiter steht noch, dass volle rang von A impliziert ,dass\, AA^T ist invertierber..dass verstehe ich schon gar nicht... Laut Definition ist A nicht quadratisch ,was mir noch mehr sorgen macht Meine Ideen: ok erste teil nicht so tragisch und ich denke dass wegen voller rang wird keine zeilen von A verschwinden ,und für jedes x wird dann eindeutige einträge von A und b eindeutigjkeit liefern Aber zu zweiter teil hab ich keine ahnung Wenn jemand eine Idee hat bitte schrei! Danke im voraus Edit: LaTeX-Tags korrigiert. Gruß, Reksilat.
15.07.2012, 21:53	frank09	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Invertierbarkeit von AA^T Ohne genau zu wissen, wie die Funktion f(x) und die Gradientenmatrix zusammen hängen, kann man folgendes sagen: A ist eine nxk-Matrix mit n<k, weil nicht quadratisch und Rang(A)=n. Weil die Zeilenvektoren lin. unabhängig sind, gibt es- wenn es überhaupt eine gibt- eine eindeutige Darstellung $\begin{eqnarray} A^T\vec{x}=\vec{b} \end{eqnarray}$ Ebenso gilt $\begin{eqnarray} (1) A^T\vec{x}=0\Rightarrow\vec{x}=0 \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} AA^T \end{eqnarray}$ ist eine quadratische nxn-Matrix mit vollem Rang=n, deshalb ist sie invertierbar. D.h. $\begin{eqnarray} AA^T\vec{x}=\vec{b} \end{eqnarray}$ hat eine eindeutige Lösung. Hätte $\begin{eqnarray} AA^T \end{eqnarray}$ nicht vollen Rang, gäbe es ein $\begin{eqnarray} \vec{x}\neq 0 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} AA^T\vec{x}=0\Rightarrow\vec{x}^TAA^T\vec{x}=(A^T\vec{x})^TA^T\vec{x}=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow A^T\vec{x}=0 \end{eqnarray}$ Das steht im Widerspruch zu (1), weil $\begin{eqnarray} \vec{x}\neq 0 \end{eqnarray}$
21.07.2012, 12:03	Lila123	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Invertierbarkeit von AA^T Danke frank09 ,du hast mir sehr geholfen!!! Hab schon auch viel gelesen, das wird dann letzte schtrich sein)

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