Eigenwerte einer linearer Abbildung

14.07.2012, 19:27

6Incognito9

Eigenwerte einer linearer Abbildung

Meine Frage:
Es sei V der Vektorraum er Polynome vom Grad kleiner oder gleich 1, also V:={p|p(x)=?x+? mit ?,???} Es sei L:V?V die lineare Abbildung, gegeben durch (L(p))(x):=p(x?1). Wie viele verschiedene Eigenwerte hat L ?

Meine Ideen:
Diese Aufgabe ist schon vom Anfang des Semesters und die Lösung ist schon bekannt und zwar 1 Eigenwert. Ich versuche nur (als Vorbereitung auf die Klausur,) die Lösung zu verstehen. Meine Idee wäre die darstellende Matrix zu bilden und die Eigenwerte zu berechnen. Dafür müsste man die Basis finden und sie dann in die Abbildungsvorschrift einsetzen. Die Basis wäre vermutlich B=(1,x). Weiss jetzt aber nicht wie ich das einsetzen sollte.

14.07.2012, 19:31

DP1996

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Was heißt das Fragezeichen in der Funktionsvorschrift?

Aber deine Ideen sind richtig.

14.07.2012, 20:10

6Incognito9

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Oops, ist was beim Copy-Paste schiefgelaufen. Es sollte eig. lauten:

Es sei V der Vektorraum er Polynome vom Grad kleiner oder gleich 1, also V:={p|p(x)= alpha * x - beta ; mit alpha und beta Elemente der reellen Zahlen} Es sei L:V -> V die lineare Abbildung, gegeben durch (L(p))(x):=p(x-1). Wie viele verschiedene Eigenwerte hat L ?

15.07.2012, 10:42

DP1996

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ok. Da deine Basis stimmt ( $\begin{eqnarray*} p_1(x)=1; p_2(x)=x \end{eqnarray*}$ ), musst du jetzt $\begin{eqnarray*} L(p_1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} L(p_2) \end{eqnarray*}$ ausrechnen, und als Linearkombination von $\begin{eqnarray*} p_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} p_2 \end{eqnarray*}$ schreiben, die Koeffizienten kommen dann als Spalten in die Matrix.

Zitat:

Weiss jetzt aber nicht wie ich das einsetzen sollte.

Indem du alle x durch (x-1) ersetzt.

15.07.2012, 14:00

6Incognito9

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Ok, ich versuche mal.

$\begin{eqnarray*} L(p_{1} )=L(1)=\alpha (1-1)+\beta =\beta \end{eqnarray*}$

Als Linearkombination in der Form eines Spaltenvektors ist es dann $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \beta \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Da ich $\begin{eqnarray*} 0\cdot x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \beta \cdot 1 \end{eqnarray*}$ brauche um $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ darzustellen.

$\begin{eqnarray*} L(x)=\alpha (x-1)+\beta = \alpha x-\alpha +\beta \end{eqnarray*}$

Und als Spaltenvektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \alpha +\beta \\ \alpha \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ist das so richtig?

15.07.2012, 14:06

DP1996

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Ne. du sollst lediglich die Basiselemente abbilden. Was du getan hast (ab dem 2. Gleichheitszeichen oben bzw. dem ersten unten), ist, dass du einfach ein beliebiges Element abgebildet hast.

Du sollst lediglich die Funktionen $\begin{eqnarray*} p_1(x)=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} p_2(x)=x \end{eqnarray*}$ hernehmen und dabei in der Funktionsvorschrift (also rechts des Gleichheitszeichens) x durch x-1 ersetzen (es ist trivialer, als du vielleicht denkst)

15.07.2012, 15:37

6Incognito9

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Du hast Recht, iwie habe ich ein Brett vorm Kopf ^^. Ich versuch das mal kleinschrittig durchzudenken. Meine Abb L verschiebt den Polynom um 1 nach links. Also ist L(1)=1 und L(x)=x+1. Ist dann $\begin{eqnarray*} L(1)=\alpha (x-1)+ \beta=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} L(x)= \alpha (x-1) + \beta = x+1 \end{eqnarray*}$ ?

15.07.2012, 16:36

DP1996

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Zitat:

Meine Abb L verschiebt den Polynom um 1 nach links. Also ist L(1)=1 und L(x)=x+1.

wohl eher um eine Einheit nach rechts (du kannst dir ja mal als Beispiel x² und (x-1)² plotten lassen). Dementsprechend ist natürlich dein L(x) auch falsch.

und dann weiß ich wirklich nicht, was du mit denem alpha und beta vorhast:

Zitat:

du musst jetzt $\begin{eqnarray*} L(p_1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} L(p_2) \end{eqnarray*}$ ausrechnen und als Linearkombination von $\begin{eqnarray*} p_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} p_2 \end{eqnarray*}$ schreiben

Will soviel heißen wie: finde reelle Zahlen (ich nenne sie mal $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ , damit du sie nicht mit den Koeffizienten deiner Polynome durcheinanderbringst), so dass $\begin{eqnarray*} L(p_1)=1=\lambda p_1+\mu p_2 \end{eqnarray*}$ . Und genauso für $\begin{eqnarray*} L(p_2) \end{eqnarray*}$ .

15.07.2012, 17:19

6Incognito9

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$\begin{eqnarray*} 1=\lambda p_1 + \mu p_2=\lambda \cdot 1 + \mu \cdot x => \lambda=1, \mu =0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (x-1)= \lambda \cdot 1 + \mu \cdot x => \lambda=-1, \mu =1 \end{eqnarray*}$ . Die darstellende Matrix ist dann $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Der Eigenwert (ausgerechnet als Nullstellen des charakteristischen Polynoms) wäre dann $\begin{eqnarray*} \lambda=1 \end{eqnarray*}$ mit der Multiplizität $\begin{eqnarray*} m_{\lambda} = 2 \end{eqnarray*}$

Habe ich das so richtig verstanden?

15.07.2012, 17:27

DP1996

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Jawoll

15.07.2012, 17:38

6Incognito9

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Yeeeeeaaaaaay! Ich habs verstanden. Thanks bro!

Noch ne kurze Frage: Ist die darstellende Matrix diagonalisierbar? Oder bracht man zwei verschiede Eigenwerte um sie in einer Diagonalform darzustellen? Ich glaube man braucht zwei verschiedene, denn sonst wäre $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und das kann ja iwie nicht sein.

16.07.2012, 14:02

DP1996

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Zitat:

Original von 6Incognito9
Oder bracht man zwei verschiede Eigenwerte um sie in einer Diagonalform darzustellen?

Das notwendige und hinreichende Kriterium für Diagonalisierbarkeit ist, dass die Dimension der Eigenräume gleich der Vielfachheit der Nullstellen des charakteristischen Polynoms ist. (genau, wenn das erfüllt ist, ist die Matrix auch diagonalisierbar, sonst nicht)
D.h. du musst jetzt hier die Dimension zum Eigenraum zum Eigenwert 1 rausfinden.

Korrekt heiß diagonalisierbarkeit aber auch nicht die Gleichheit zweier Matrizen, sondern die Ähnlichkeit, wenn deine Matrix diagonalisierbar ist, gäbe es also eine invertierbare Matrix A so, dass \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} =A^{-1} \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix} A [/latex] gilt. Man kann A dann auch als Basiswechselmatrix auffassen, die diagonalisierte Matrix beschreibt also den gleichen Endomorphismus, aber bezüglich einer anderen Basis (und sieht schöner aus Augenzwinkern

)

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