Funktion stetig ergänzen?!

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30.01.2007, 22:51	.hmpf	Auf diesen Beitrag antworten »
Funktion stetig ergänzen?! Hallo, ich hab ne Frage und zwar: wie lässt sich eine Funktion in ihren Definitionslücken stetig ergänzen? z.B. bei $\begin{eqnarray} f(x)=x²+x-2/x²+2x-3 \end{eqnarray}$ Die Funktion ist an den Stellen -3 und 1 nicht definiert. Und wie gehe ich dann weiter vor ?
30.01.2007, 22:53	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Zähler und Nenner faktorisieren, Bruch kürzen, Grenzübergang durchführen. Bist du sicher, dass das in Hochschulmathematik soll?
30.01.2007, 22:57	.hmpf	Auf diesen Beitrag antworten »
bin zwar an der Hochschule, aber sicher, ob das hier richtig ist, war ich mir auch nicht ganz, sorry :-) was bedeutet faktorisieren? und Grenzübergang? den Grenzwert ausrechnen? für was?
30.01.2007, 23:07	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, ich verschiebe mal. Faktorisieren: Zum Beispiel ist $\begin{eqnarray} x^3-x = x(x^2-1) = x(x-1)(x+1) \end{eqnarray}$ . Das nennt man Faktorisieren. Den Grenzwert für $\begin{eqnarray} x\to 1,~-3 \end{eqnarray}$ . Gruß, therisen
30.01.2007, 23:16	.hmpf	Auf diesen Beitrag antworten »
und was bringt mir das Faktorisieren ? Dass ich dann was kürzen kann ? Aber was mach ich dann bei der Funktion? $\begin{eqnarray} f(x)=x(x+1)-2/x(x+2)-3 \end{eqnarray}$ ?? Ich versteh den Sinn dahinter nicht so ganz..
30.01.2007, 23:22	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Immer und immer wieder: Klammern vergessen!!! Es ist eine Sisyphus-Arbeit, aber ich weiche ihr nicht aus... @hmpf Falls du $\begin{eqnarray} f(x) = \frac{x^2+x-2}{x^2+2x-3} \end{eqnarray}$ meinen solltest, dann schreibe es auch so - oder alternativ mit Klammern: $\begin{eqnarray} f(x) = (x^2+x-2)/(x^2+2x-3) \end{eqnarray}$ Deine Schreibweise oben bedeutet nämlich $\begin{eqnarray} f(x) = x^2+x- \frac{2}{x^2}+2x-3 = x^2+3x-3-\frac{2}{x^2} \end{eqnarray}$ . An alle LaTeX-Verweigerer: Bitte wenigstens Klammern setzen!
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30.01.2007, 23:25	.hmpf	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Immer und immer wieder: Klammern vergessen!!! ja genau so wars gemeint...also mit Klammer..
30.01.2007, 23:27	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Faktorisiere einfach mal $\begin{eqnarray} x^2+x-2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x^2+2x-3 \end{eqnarray}$ und poste deine Ergebnisse. Dann zeige ich dir, wozu das gut war/ist
30.01.2007, 23:28	derkoch	Auf diesen Beitrag antworten »
dann setze um was therisen dir als tip schon gegeben hat! mein tip: nutze aus , daß 1 und -3 "nullstellen" des nenners sind, um eine faktorisierung durch zuführen! für den zähler empfehle ich $\begin{eqnarray} x_o=1 \end{eqnarray}$ mal anzuschauen!
30.01.2007, 23:33	.hmpf	Auf diesen Beitrag antworten »
ja ich hätte jetzt für $\begin{eqnarray} x²+x-2 \end{eqnarray}$ gesagt: $\begin{eqnarray} x(x+1)-2 \end{eqnarray}$ und für $\begin{eqnarray} x²+2x-3 \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} x(x+2)-3 \end{eqnarray}$ schaut aber irgendwie komisch aus.
30.01.2007, 23:35	derkoch	Auf diesen Beitrag antworten »
sag dir der begriff Polynomdivision etwas!
30.01.2007, 23:39	.hmpf	Auf diesen Beitrag antworten »
ja, aber nicht in dem Zusammenhang hier..?!
30.01.2007, 23:40	derkoch	Auf diesen Beitrag antworten »
führe doch PD für nenner und zähler getrennt durch, dann siehst du was raus kommt!
31.01.2007, 00:00	.hmpf	Auf diesen Beitrag antworten »
also hab ich $\begin{eqnarray} f(x)=\frac{(x-1)(x+2)}{(x+3)(x-1)} \end{eqnarray}$ und dann praktisch $\begin{eqnarray} f(x)=\frac{(x+2)}{(x-1)} \end{eqnarray}$ ?
31.01.2007, 00:20	derkoch	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast falsch gekürzt! es muß $\begin{eqnarray} f(x)=\frac{(x+2)}{(x+3)} \end{eqnarray}$ heißen! so, jetzt näherst du dich von links und von rechts der definitionslücke und betrachtest den grenzwert an diese stelle, falls einer existiert!
31.01.2007, 00:26	.hmpf	Auf diesen Beitrag antworten »
ähm ja sorry mein ich doch, hab mich verschrieben.. Und jetzt soll ich die Grenzwerte ausrechnen für x-->1 und x-->-3 ? Muss ich dann in der Funktion einfach für x 1 bzw -3 einsetzen oder wie geht das ?
31.01.2007, 00:33	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Für $\begin{eqnarray} x\to 1 \end{eqnarray}$ kannst du in der Tat einsetzen. Für $\begin{eqnarray} x\to -3 \end{eqnarray}$ musst du aber einen Grenzübergang durchführen. Tipp: Gruß, therisen
31.01.2007, 00:38	.hmpf	Auf diesen Beitrag antworten »
ja aber was ist denn ein Grenzübergang (hab ich noch nie gehört) und wieso muss ich das bei -3 machen und bei 1 nicht ?
31.01.2007, 00:41	derkoch	Auf diesen Beitrag antworten »
weil du bei 1 die funktion doch schon durch den wert $\begin{eqnarray} \frac{3}{4} \end{eqnarray}$ stetig ergänzt wurde!
31.01.2007, 00:44	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Siehe auch wieder der Graph: Ein Grenzübergang ist das: http://de.wikipedia.org/wiki/Grenzwert_%28Funktion%29
31.01.2007, 00:51	.hmpf	Auf diesen Beitrag antworten »
achso wenn ich den grenzwert ausrechne, dann heißt das stetig ergänzt ?
31.01.2007, 01:09	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Nur, wenn die Stelle ein Häufungspunkt deiner Definitionsmenge ist und die Funktion an dieser Stelle nicht definiert ist. Natürlich muss der Grenzwert endlich sein
31.01.2007, 15:34	marci_	Auf diesen Beitrag antworten »
hallo, ich habe es mir auch gerade durchgelesen, aber wie ist das genau mit dem grenzübergang? was muss ich da machen, bzw. was ist da das ziel, also wie muss das ergebnis aussehen/was ist gesucht? also für x-->3: annäherung von rechts: gegen - unendlich annäherung von links: gegen +unendlich ist das jetzt stetig ergänzt?
31.01.2007, 16:23	pseudo-nym	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, weil wie therisen schon sagte der Grenzwert nicht endlich ist. Außerdem unterscheiden sich links- und rechtsseitiger Grenzwert. Das kann nicht stetig sein.
31.01.2007, 16:29	marci_	Auf diesen Beitrag antworten »
also geht die stetige ergäntung nur bei x=1? dann hät ich sie verstanden, weil stetigkeit setzt ja das gleiche ergebnis bei annäherung von rechts und von links herraus?!
31.01.2007, 17:13	pseudo-nym	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja wenn $\begin{eqnarray} \lim_{x \nearrow a} f(x) = \lim_{x \searrow a} f(x) \end{eqnarray}$ wie hier bei x=1, dann kann die Funktion stetig ergänzt werden. Die Ergänzung ist dann der wahre Wert
31.01.2007, 19:38	marci_	Auf diesen Beitrag antworten »
okei vielen dank! wie ist jetzt die korrekte schreibweise bei x=1 und x=-3
31.01.2007, 21:15	pseudo-nym	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn man's ausnotiert, kann man das mit einer abschnittsweise definierten Funktion machen. $\begin{eqnarray} && f(x) \begin{cases} \frac{x^2+x-2}{x^2+2x-3} & x \neq 1 \\ \frac{3}{4} & x = 1 \end{cases} \\ && \mathbb D = \mathbb R \backslash -3 \end{eqnarray}$
31.01.2007, 22:03	marci_	Auf diesen Beitrag antworten »
super! dankeschön... was wäre wenn nicht x=-3 sondern x=-1 gefragt wäre...schreib ich dann hinter die geschweifte klammer drei ausdrücke hin?
01.02.2007, 09:27	pseudo-nym	Auf diesen Beitrag antworten »
Für $\begin{eqnarray} x=-1 \end{eqnarray}$ ist die Funktion ja definiert, da muss man nichts hinzufügen. Die Version die ich oben gepostet habe reicht da völlig. Oder meinst du was anderes?
01.02.2007, 15:00	marci_	Auf diesen Beitrag antworten »
ne, hast recht edit: grad fällt mir ein: also für x=1 gelten 3/4 und für alle werte außer 1 gilt der obere teil? und D schließt ja schon die -3 aus! aber: was bringt mir die stetige ergänzung jetzt ganz genau? sry für den pushpost, aber ich denke es hat keiner bemerkt
04.02.2007, 20:05	marci_	Auf diesen Beitrag antworten »
sorry für den push-post, aber es hat glaub keiner so wirklich gesehen! was bringt mir die stetige ergänzung denn genau?
04.02.2007, 20:06	derkoch	Auf diesen Beitrag antworten »
das du der funktion an der stelle einen funktionswert zuordnen kannst und somit auch "zeichnen" kannst, sonst ist dort ne"lücke"!( also unstetig!!) darüber reden wir doch die ganze zeit!

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