Abstand paralleler linearer Graphen

15.07.2012, 11:43

Schusseldussel

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Abstand paralleler linearer Graphen

Meine Frage:
Hallo ich habe zwei parallele Graphen und möchte den kürzesten abstand dieser bestimmen.
$\begin{eqnarray*} f(x)=mx + c_1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g(x)=mx + c_2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} c_1 \neq c_2 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Mein Ansatz ist jetzt, dass ich den Anstieg einer Funktion rechtwinklig zum ursprünglichen Anstieg setze:
$\begin{eqnarray*} g'(x)=-\frac{1}{m}x + c_2 \end{eqnarray*}$
g und g' sollten sich jetzt bei x=0 rechtwinklig schneiden.

Jetzt setze ich die Funktionen f und g' gleich um den Schnittpunkt auf der x-Achse zu erhalten.
$\begin{eqnarray*} mx + c_1=-\frac{1}{m}x + c_2 \Rightarrow (m+\frac{1}{m})x=c_2 - c_1 \Rightarrow x= \frac{c_2 - c_1}{(m+\frac{1}{m})} \end{eqnarray*}$

Jetzt ist meine Idee, um den Abstand d zu bekommen den Anstieg von g' mit dem erhaltenen Schnittpunkt zu multiplizieren.
$\begin{eqnarray*} d=\frac{1}{m}x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} d=\frac{1}{m}\frac{c_2 - c_1}{(m+\frac{1}{m})} = \frac{c_2 - c_1}{m(m+\frac{1}{m})}=\frac{c_2 - c_1}{(m^2+1)} \end{eqnarray*}$

Das sollte nun mein Ergebnis sein.

Jetzt habe ich die Sache aber mit dem Satz des Pythagoras kontolliert und komme darauf, dass das Ergebnis eigentlich

$\begin{eqnarray*} d=\frac{c_2 - c_1}{\sqrt{m^2+1}} \end{eqnarray*}$

lauten müsste.
Was mache ich falsch? Vielen Dank für Eure Hilfe.

15.07.2012, 12:10

Gast11022013

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Zitat:

Hallo ich habe zwei parallele Graphen und möchte den kürzesten abstand dieser bestimmen.

verwirrt

Zwei parallele Graden haben doch überall den selben Abstand.

Ist das tatsächlich Hochschulmathematik? Ansonsten bin ich hier ganz schnell wieder weg.

Des Weiteren würde ich sagen, dass wenn du

$\begin{eqnarray*} g '(x)=-\frac{1}{m}x+c_2 \end{eqnarray*}$

setzt, du den y-Achsenabschnitt neu berechnen müsstest.

Da es jetzt in der Hochschulmathematik ist, kann ich mich natürlich auch grässlich irren. In diesem Fall bitte nicht böse sein.

Wink

Wink

Edit: Ich würde eine Differenzfunktion aufstellen und diese dann auf ein Minimum untersuchen. Dabei stellt man schnell fest, dass es keins geben kann.

15.07.2012, 12:23

Schusseldussel

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Leider hab ich das Thema nicht der Analysis zugeordnet, wo es wahrscheinlich hingehört. Hochschulmathematik habe ich deswegen gewählt, weil ich das Problem jetzt im Studium lösen muss. Von der Schwierigkeit könnte man es sicher auch Schulmathematik zuordnen.
Was Du mit y-Achsenabschnitt berechnen meinst weiß ich nicht.
Zur Vorstellung hab ich die Annahme gemacht g(x) < f(x). So bekomme ich den Schnittpunkt auf der positiven x-Seite von g' und f.

15.07.2012, 12:33

Gast11022013

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Wenn du von einer Funktion die Steigung veränderst, dann ändert sich doch auch der Punkt wo die Gerade die y-Achse schneidet.

Also kannst du nicht einfach sagen, dass die neue Funktionsgleichung den gleichen Schnittpunkt hat. Außer du legst das einfach fest.
In wie weit dir das hilft, verstehe ich jedoch nicht.

Ich bin ja immer noch der Annahme, dass du vergeblich nach einem Minimum suchst.

Wir suchen die Stelle, wo der Abstand am geringsten ist. Also können wir doch einfach

$\begin{eqnarray*} f(x)-g(x)=h(x) <br /> \end{eqnarray*}$

berechnen.

h(x) gibt uns dann den jeweiligen Abstand im Punkt x an.

Da Steigung etc. gleich sind fällt dies beim subtrahieren raus.
Übrig bleiben die Konstanten y-Achsenschnittpunkte.

Wenn ich dies nun differenziere um ein Minimum zu berechnen, fällt dies schlussendlich auch noch weg.

15.07.2012, 13:01

lgrizu

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Zitat:

Original von Gmasterflash
Wenn du von einer Funktion die Steigung veränderst, dann ändert sich doch auch der Punkt wo die Gerade die y-Achse schneidet.

Also kannst du nicht einfach sagen, dass die neue Funktionsgleichung den gleichen Schnittpunkt hat. Außer du legst das einfach fest.
In wie weit dir das hilft, verstehe ich jedoch nicht.

Das verstehe ich nicht, das Vorgehen von Schusseldussel ist vollkommen korrekt, er bestimmt eine beliebige Gearde, di senkrecht zu den beiden Geraden steht. Der Schnittpunkt mit g soll bei x=0 leigen, das kann man machen und es vereinfacht die Rechnung, da man nicht stets die Differenz der Schnittstellen der beiden Geraden "mitschleppen" muss.

Zitat:

Original von Gmasterflash
Ich bin ja immer noch der Annahme, dass du vergeblich nach einem Minimum suchst.

Er sucht doch gar kein Minimum, das wäre auch 0, da wir uns im IR² befinden und die Geraden sich dann schneiden müssten, wenn sie nicht parallel sind, also wird der Abstand gesucht. Die Ausdrucksweise "kleinster Abstand" ist jedoch verwirrend, denn der Abstand ist tatsächlich überall gleich, aber genau deshalb ist es auch Schnuppe, wo die senkrechte Gerade leigt.

Differenzieren ist völlig unnötig.

@Schusseldussel:

Mach einmal vor, wie du den Pythagoras benutzt hast, mir sieht das erst mal nach ziemlich viel Rechnerei aus. Wir bezeichnen einmal die Schnittstelle von g' und f mit x_0.
(Im übrigen ist die Wahl g' ziemlich verwirrend, eigentlich bezeichnet man so das Differential...)
Wir erhalten dann mit Pythagoras:

$\begin{eqnarray*} (c_2-c_1)^2=(f(x_0)-c_1)^2+x_0^2+d^2 \end{eqnarray*}$

Das kann man dann nach d² auflösen.

15.07.2012, 13:14

Gast11022013

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Ja ok. Dann sry, dass ich für Verwirrung gesorgt habe.

Die genaue Aufgabenstellung verstehe ich jedoch immer noch nicht.

Bin mal auf die Lösung gespannt.

Damit bin ich hier wohl unnötig. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wink

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15.07.2012, 13:18

lgrizu

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Es wird wohl einfach nur der Abstand (das ist in der Mathematik "automatisch" der kürzeste Weg, also Rechtwinklig auf beiden Geraden) zwischen den beiden Geraden gesucht.

15.07.2012, 13:22

Gast11022013

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verwirrt

Aber dieser sollte doch überall gleich sein, da die Geraden ja parallel sind.

Dann werde ich aber den Thread nicht noch weiter aufblähen. Du kannst es mir ja gegebenen Falls über PN erklären.

Idee!

Idee!

Obwohl... ja ok jetzt habe ich es verstanden. Man sucht einfach nur die größe des Abstandes und nicht den kürzesten.

Und diese größe gibt man in Abhängigkeit der Variablen an.
Hammer

Hammer

15.07.2012, 14:07

Schusseldussel

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@lgrizu
(Ich behalte nun die Bezeichnung g' bei. Aber du hast recht, es ist irreführend. g' soll lediglich eine Modifikation an g sein und nicht die Ableitung.)

Ich habe nur ein Beispiel mit dem Pythagoras gemacht um meine Gleichung zu prüfen.
Leider bin ich unfähig hier eine Skizze reinzustellen, deswegen muss ich es beschreiben.
Ich habe mir ein gleichschenkliges Dreieck genommen.
Länge der gleichen Schenkel a.
Länge der dritten Seite c.
Der Winkel zwischen den gleich langen Schenkeln betrage 90°. Das Dreieck wird nun so gekippt, dass c auf der y-Achse liegt. Die beiden Seiten a sind nun Teile meiner Funktionen f(x) und g'(x).
Die Steigung f(x) ist so -1 und die von g'(x) 1. Die Länge von $\begin{eqnarray*} c = c_1 - c_2 \end{eqnarray*}$ .
Das genügt meinen Forderungen von oben.

Nun der Satz von Pythagoras auf das Beispiel:

$\begin{eqnarray*} c^2 = a^2 + a^2 = 2a^2 \Rightarrow a=\frac{c}{\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$

In meine Formel eingesetzt kommt man auf folgendes:

$\begin{eqnarray*} a=\frac{c}{1+1}=\frac{c}{2} \end{eqnarray*}$

15.07.2012, 14:52

lgrizu

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So, ich habe mir aml die Mühe gemacht, eine Skizze anzufertigen:

[attach]25290[/attach]

Nun ist zuerst die gemeinsame Kante von dem roten und dem violetten Dreieck zu berechnen, mit Pythagoras, das ist dann in den Pythagoras des roten Dreiecks einzusetzen.

Wie du darauf kommst, dass dein Dreieck immer gleichschenklig ist, ist mir ein Rätsel.....

Wie gesagt, sieht anch viel Rechenarbeit aus.....

15.07.2012, 17:22

Schusseldussel

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Vielen Dank für Deine Mühe.
Entschuldige da habe ich mich wohl unverständlich ausgedrückt. Es ist eine Festlegung von mir, dass das Dreieck gleichschenklig ist. Das zusammen mit der festlegung des Winkels von 90° begrenzt das ganze so, dass die Steigung der Funktionenen immer 1 bzw. -1 sein muss. Es sollte ja nicht allgemein sein. Ich habe mir nur dieses spezielle Gegenbeispiel gebaut, ob die Formel, welche ich mir für den Abstand gebastelt habe richtig ist.
Was durch das Gegenbeispiel zu sehen ist, ist das meine Formel nicht stimmt.
Da für mich der Weg über den Pythagoras auch zu kompliziert erschien habe ich diesen ja auch nicht genommen, sondern den von mir zu erst aufgezeigten und ich nehme an, dass in diesem irgendwo ein Fehler steckt, den ich nicht erkenne. Ich muss ja einfach nur die Stelle übersehen habe, wo die fehlende Wurzel entsteht.

16.07.2012, 00:55

Schusseldussel

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Zitat:

Original von Schusseldussel
Jetzt ist meine Idee, um den Abstand d zu bekommen den Anstieg von g' mit dem erhaltenen Schnittpunkt zu multiplizieren.

Ich hab mir das nochmal überlegt und bin darauf gekommen, dass diese Annahme nicht stimmen kann. Nur komme ich hier auch nicht weiter.

16.07.2012, 10:10

lgrizu

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Mit den Mitteln der analytischen Geometrie geht das ganze ganz leicht von der Hand:

1. Schritt: Lösen der beiden LGS:

$\begin{eqnarray*} i)~y=mx+c_1 \Rightarrow mx-y+c_1=0 \end{eqnarray*}$

Parametrisieren von y ergibt dann die Parametergleichung
$\begin{eqnarray*} g_1: \vec{x}=\begin{pmatrix}-\frac{c_1}{m}\\0\\0\end{pmatrix} + \lambda_1 \cdot \begin{pmatrix}\frac{1}{m} \\1\\0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

zweites LGS:

$\begin{eqnarray*} ii)~y=mx+c_2 \Rightarrow mx-y+c_2=0 \end{eqnarray*}$

Das ergibt die Parameterform

$\begin{eqnarray*} g_2: \vec{x}=\begin{pmatrix}-\frac{c_2}{m}\\0\\0\end{pmatrix} + \lambda_2 \cdot \begin{pmatrix}\frac{1}{m} \\1\\0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

So, nun setzen wir das ganze in die Abstandsform ein:

$\begin{eqnarray*} d=\frac{ \left| \begin{pmatrix}\frac{1}{m}\\1\\0\end{pmatrix} \times \left[ \begin{pmatrix} -\frac{c_1}{m} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix}- \frac{c_2}{m}\\0\\0 \end{pmatrix} \right]\right| }{ \left| \begin{pmatrix} \frac{1}{m} \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \right| } \end{eqnarray*}$

Und wir erhalten:

$\begin{eqnarray*} d=\sqrt{ \frac{c_1^2-c_2^2}{1+m^2}} \end{eqnarray*}$ .

16.07.2012, 13:08

Schusseldussel

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Das stimmt so geht es natürlich auch nur scheint mir dein Weg ein wenig umständlich und warum du in der letzten Zeile c_1 und c_2 einzeln quadriest versteh ich auch nicht. Bei der Bildung des Betrags des Kreuzproduktes im Zähler müsste meines Achtens $\begin{eqnarray*} (c_2-c_1) \end{eqnarray*}$ zusammen quadreiert werden.

Hier nochmal mein Rechenweg:
für die Funktion f(x) habe ich mir disen Vektor gebastelt
$\begin{eqnarray*} \vec{x}=\begin{pmatrix} 0 \\ c_1 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda_1 \begin{pmatrix} 1 \\ m \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Aus der Funktion g(x) habe ich mir nur den Punkt der auf der y-Achse liegt genommen
$\begin{eqnarray*} \vec{P} = \begin{pmatrix} 0 \\ c_2 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Hier nochmal die Abstandsformel für Punkt - Gerade
$\begin{eqnarray*} d=\frac{|\vec{b} \times (\vec{P} - \vec{a})| }{|\vec{b}|} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{b} \end{eqnarray*}$ ist der Richtungsvektor
$\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ ist der Aufpunkt

$\begin{eqnarray*} d=\frac{\left| \begin{pmatrix} 1 \\ m \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\ c_2-c_1 \\ 0 \end{pmatrix} \right| }{\sqrt{1^2+m^2+0^2}} = \frac{\left| \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ c_2-c_1 \end{pmatrix} \right| }{\sqrt{1+m^2}}= \frac{ \sqrt{(c_2-c_1)^2}}{\sqrt{1+m^2}}=\frac{c_2-c_1}{\sqrt{1+m^2}} \end{eqnarray*}$

@lgrizu
Danke für Deine Mühe und Hilfe

16.07.2012, 13:34

lgrizu

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Zitat:

Original von Schusseldussel
Das stimmt so geht es natürlich auch nur scheint mir dein Weg ein wenig umständlich und warum du in der letzten Zeile c_1 und c_2 einzeln quadriest versteh ich auch nicht. Bei der Bildung des Betrags des Kreuzproduktes im Zähler müsste meines Achtens $\begin{eqnarray*} (c_2-c_1) \end{eqnarray*}$ zusammen quadreiert werden.

Das stimmt natürlich, mein Fehler.

Ansonsten richtig.

16.07.2012, 13:36

Che Netzer

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Um noch einen Weg zu nennen:
Das ganze auf $\begin{eqnarray*} c_1=0 \end{eqnarray*}$ vereinfachen, dann betragsmäßig kleinsten Punkt einer Geraden suchen: Minimum einer quadratischen Funktion $\begin{eqnarray*} x\mapsto x^2+(mx+c)^2 \end{eqnarray*}$ , aus diesem Minimum die Wurzel ziehen.
(c ist dann $\begin{eqnarray*} \lvert c_1-c_2\rvert \end{eqnarray*}$ )

16.07.2012, 15:05

Schusseldussel

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@Che Netzer

Das versteh ich nicht. Kannst Du mir das näher erklären?

16.07.2012, 15:28

Che Netzer

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Man betrachtet die beiden Geraden ersteinmal geometrisch.
Dabei ist es natürlich egal, wo der Koordinatenursprung liegt, der Abstand bleibt ja gleich.
Also kann man sich das alles so legen, dass eine der Geraden durch den Ursprung liegt.
Betrachtet man nun den Abstand eines Punktes der einen Geraden zu der anderen geraden, dann ist der ja auch für alle gewählten Punkte gleich (Parallelität). Also reicht es aus, den Abstand eines beliebigen Punktes von Gerade 1 zu Gerade 2 zu berechnen. Dazu kann man den Ursprung wählen, der ja Teil der einen gerade ist. Und der Abstand eines Punktes zum Ursprung ist der Betrag.
Nun haben alle Punkt der Gerade mit $\begin{eqnarray*} f(x)=mx+c \end{eqnarray*}$ die Form $\begin{eqnarray*} (x,mx+c) \end{eqnarray*}$ . Der Betrag dieses Punktes ist (Pythagoras) $\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2+(mx+c)^2} \end{eqnarray*}$ . Bei der Suche nach dem Minimum kann man die Wurzel aber zunächst vernachlässigen. Jetzt suchen wir die Minimalstelle von $\begin{eqnarray*} x^2+(mx+c)^2 \end{eqnarray*}$ . Das leiten wir ab, und finden leicht die Stelle -c/(1+m). Das setzen wir jetzt in den Ausdruck mit der Wurzel ein und sollten damit den Abstand ermittelt haben.

16.07.2012, 17:10

Schusseldussel

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Vielen Dank,
mir gefällt Dein Weg besser. Die Vektoranalysis geht zwar einfach vorzustellen aber ist nicht so direkt.

16.07.2012, 17:35

Che Netzer

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Ja, ich mag diese analytische Geometrie auch nicht, viel zu bildhaft smile

smile

Mir ist aber noch ein kleiner Fehler unterlaufen: Statt -c/(1+m) ist die Minimalstelle -cm/(1+m²).

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