diskrete Zufallsgrösse, Erwartungswert

16.07.2012, 00:50

Wombat91

diskrete Zufallsgrösse, Erwartungswert

Ich will gerne verstehen, wieso bei einer diskret verteilten Zufallsvariablen folgendes gilt:
$\begin{eqnarray*} \int x PX^{-1}(dx)=\sum_{z\in X(\Omega)} z P(X=z) \end{eqnarray*}$
Ich weiss ja, dass $\begin{eqnarray*} PX^{-1}(A)=\sum_{z\in X(\Omega)} P(X=z) \delta_z(A) \end{eqnarray*}$
Aber ich muss doch $\begin{eqnarray*} f(x)=x \end{eqnarray*}$ zuerst durch eine Treppenfunktion approximieren, bevor ich dieses Lemma anwenden kann, oder nicht? Aber wie mache ich das, wenn ich über ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ integrieren muss und nicht bloss in einem Intervall?

Vielen Dank schon zum Voraus.

16.07.2012, 09:40

Math1986

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RE: diskrete Zufallsgrösse, Erwartungswert
Wenn die Zufallsgröße diskret ist dann hat die Dichtefunktion doch automatisch die Gestalt einer Treppenfunktion. Daher kannst du den Erwartungswert als Summe darstellen, sofern er existiert.

16.07.2012, 10:55

Wombat91

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RE: diskrete Zufallsgrösse, Erwartungswert
Ja, aber das x bleibt doch immernoch stehen, nicht? Das ist mir klar, dass jede disrete Verteilung eine Treppenfunktion als Dichtefunktion besitzt, aber ich verstehe nicht, wie ich den Satz beweisen kann mit dieser Information.
Ich fange mal an, soweit ich komme: $\begin{eqnarray*} \int x PX^{-1}(dx) =\int \lim_{n\rightarrow \infty} f_n PX^{-1}(dx) \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ eine Folge von Treppenfunktionen ist, die gegen f(x)=x konvergiert, d.h. $\begin{eqnarray*} f_n(x)=\sum_{i=1}^n a_i 1_{A_i} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \int \lim_{n\rightarrow \infty} f_n PX^{-1}(dx)=\sum_{i=1}^{\infty} a_i PX^{-1}(A_i)=\sum_{i=1}^{\infty} a_i \sum_{z\in X(\Omega)} P(X=z) \delta_z(A_i) \end{eqnarray*}$ , aber ich komme jetzt nicht weiter....

16.07.2012, 11:06

Wombat91

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RE: diskrete Zufallsgrösse, Erwartungswert
Ach so, du meinst, $\begin{eqnarray*} f(x)=x \end{eqnarray*}$ sieht schon aus wie eine Treppenfunktion, weil die Zufallsvariable X nur endlich viele Werte annimmt. Aber dann hätte ich ungefähr wieder dasselbe Problem, mit dem Unterschied, dass da oberhalb der Summe nicht ein $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ sondern bloss n stehen würde.
Ich könnte das Problem natürlich auch ganz anders anpacken und zwar:
Da ich weiss, dass X endlich viele Werte annimmt, können wir X ja auch schreiben als
$\begin{eqnarray*} X=\sum a_i 1_{A_i} \end{eqnarray*}$ und da der Erwartungswert definiert ist als:
$\begin{eqnarray*} \int X dP \end{eqnarray*}$ können wir ersetzen und erhalten: $\begin{eqnarray*} ...=\int \sum a_i 1_{A_i} dP= \sum a_i P(A_i)=\sum_{z\in X(\Omega)} P(X=z) z \end{eqnarray*}$ Ich würde dann aber trotzdem gerne verstehen, wieso wir das in der Uni nicht so bewiesen haben sondern eben mit diesem komischen Lemma und über dieses Mass $\begin{eqnarray*} PX^{-1} \end{eqnarray*}$ ?

16.07.2012, 11:38

Math1986

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RE: diskrete Zufallsgrösse, Erwartungswert

Zitat:

Original von Wombat91
Ach so, du meinst, $\begin{eqnarray*} f(x)=x \end{eqnarray*}$ sieht schon aus wie eine Treppenfunktion, weil die Zufallsvariable X nur endlich viele Werte annimmt.

Nicht ganz. Der erste Teil ist richtig. f(x) ist die sogenannte Zähldichte von X, die die Wahrscheinlichkeit eines Einzelereignisses angibt.
Falsch ist, dass X nur endlich viele Werte annimmt, eine diskrete Zufallsvariable kann eben auch abzählbar unendlich viele Werte annehmen.

Zitat:

Original von Wombat91
Aber dann hätte ich ungefähr wieder dasselbe Problem, mit dem Unterschied, dass da oberhalb der Summe nicht ein $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ sondern bloss n stehen würde.

Das Problem sehe ich eben nicht. Eine diskrete Zufallsvariable kann eben auch abzählbar unendlich viele Werte annehmen, in diesem Fall ist dein Maß eben durch die Summe und nicht durch ein Integral gegeben.

Was genau stellst du dir denn unter dem Begriff "diskrete Zufallsvariable" vor?

16.07.2012, 13:50

Wombat91

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RE: diskrete Zufallsgrösse, Erwartungswert
Ja, da hast du recht. Ich hab' mich das eben auch gefragt, als ich die Definition: "Eine diskrete Zufallsvariable ist eine, die bloss endlich viele Werte annehmen kann", mal gelesen hab'. Ok. Dann muss ich endlich durch höchstens abzählbar unendlich ersetzen.
Eine diskrete Zufallsvariable ist also nun für mich eine Abbildung vom Ereignisraum in eine höchstens abzählbar unendliche Menge.

Ach so, dann ist jetzt also $\begin{eqnarray*} x=\sum a_i 1_{A_i}=\sum_{z \in X(\Omega)} z 1_{\{X=z\}} \end{eqnarray*}$ D.h. $\begin{eqnarray*} \int x PX^{-1}(dx)=\int \sum_{z \in X(\Omega)} z 1_{\{X=z\}} PX^{-1}(dx)=\sum_{z\in X(\Omega)} z PX^{-1}(\{X=z\})=\sum_{z\in X(\Omega)} z P(X=z) \end{eqnarray*}$ . Stimmt das so?

16.07.2012, 14:02

Math1986

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RE: diskrete Zufallsgrösse, Erwartungswert
Du vermischst hier Integral- und Summenzeichen unglücklich

$\begin{eqnarray*} \int x PX^{-1}(dx)=\sum_{z\in X(\Omega)} z PX^{-1}(\{X=z\})=\sum_{z\in X(\Omega)} z P(X=z) \end{eqnarray*}$
Müsste so stimmen.

16.07.2012, 14:28

Wombat91

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RE: diskrete Zufallsgrösse, Erwartungswert
Ja, aber in unserem Skript steht: Ist $\begin{eqnarray*} f(x)=\sum_{i=1}^n a_i 1_{A_i} \end{eqnarray*}$ eine nichtnegative messbare, einfache Funktion, dann wird das Integral $\begin{eqnarray*} \int f d\mu=\sum_{i=1}^n a_i \mu(A_i) \end{eqnarray*}$ definiert. In meinem Fall ist doch jetzt einfach $\begin{eqnarray*} f(x)=x=\sum_{z\in X(\Omega)} z 1_{\{X=z\}} \end{eqnarray*}$ , oder nicht?
Dann darf ich doch schreiben $\begin{eqnarray*} \int x dPX^{-1}=\int \sum z 1_{X=z} dPX^{-1}(dx) =... \end{eqnarray*}$ Ich hab ja bloss x durch die Summe ersetzt, oder nicht?
Sorry, dass ich so viel frage.

16.07.2012, 14:31

Math1986

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RE: diskrete Zufallsgrösse, Erwartungswert

Zitat:

Original von Wombat91
Ja, aber in unserem Skript steht: Ist $\begin{eqnarray*} f(x)=\sum_{i=1}^n a_i 1_{A_i} \end{eqnarray*}$ eine nichtnegative messbare, einfache Funktion, dass wird das Integral $\begin{eqnarray*} \int f d\mu=\sum_{i=1}^n a_i \mu(A_i) \end{eqnarray*}$ definiert.

Genau den Fall haben wir doch.

Zitat:

In meinem Fall ist doch jetzt einfach $\begin{eqnarray*} f(x)=x=\sum_{z\in X(\Omega)} z 1_{\{X=z\}} \end{eqnarray*}$ , oder nicht?

Wiso sollte hier f(x)=x gelten? verwirrt

Das ist mit Sicherheit keine Treppenfunktion.

16.07.2012, 14:38

Wombat91

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RE: diskrete Zufallsgrösse, Erwartungswert
Aber ich hab' doch geschrieben:

Zitat:

Ach so, du meinst, $\begin{eqnarray*} f(x)=x \end{eqnarray*}$ sieht schon aus wie eine Treppenfunktion, weil die Zufallsvariable X nur endlich viele Werte annimmt.

Und dann hast du daraufhin geantwortet:

Zitat:

Nicht ganz. Der erste Teil ist richtig. f(x) ist die sogenannte Zähldichte von X

Und als du geschrieben hast, der erste Teil sei richtig, dachte ich, dass in dem Fall f(x)=x wie eine Treppenfunktion aussieht, deshalb mein Argument.
Sorry, wegen der ganzen Verwirrung, ich bin wohl etwas schwer von Begriff.
Wenn ja f(x) die Zähldichte ist, dann ist es doch eine einfache Funktion?! Ich bin verwirrt...

Danke für deine Geduld!! smile

16.07.2012, 15:05

Math1986

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RE: diskrete Zufallsgrösse, Erwartungswert
f(x)=x sieht wie folgt aus:

Ähnelt dies einer Treppenfunktion?

Die Zähldichte von X hat Allgemein die Gestalt:
$\begin{eqnarray*} f(x)=\sum_{i=1}^\infty a_i 1_{A_i}(x) \end{eqnarray*}$
Und ja, diese ist einfach.

Daraus ergibt sich:
$\begin{eqnarray*} \int x PX^{-1}(dx)=\sum_{z\in X(\Omega)} z PX^{-1}(\{X=z\})=\sum_{z\in X(\Omega)} z P(X=z) \end{eqnarray*}$

16.07.2012, 16:08

Wombat91

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RE: diskrete Zufallsgrösse, Erwartungswert
Natürlich sieht der Plot nicht aus wie eine einfache Funktion und ich weiss natürlich auch, dass $\begin{eqnarray*} f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, x\mapsto x \end{eqnarray*}$ genau so aussieht.
Mich hat einfach so verwirrt, dass du da mal etwas von mir bestätigt hast, was kreuzfalsch war, bzw. dass ich das so verstanden habe. Nichts für ungut.
Dann war also:

Zitat:

Ich fange mal an, soweit ich komme: $\begin{eqnarray*} \int x PX^{-1}(dx) =\int \lim_{n\rightarrow \infty} f_n PX^{-1}(dx) \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ eine Folge von Treppenfunktionen ist, die gegen f(x)=x konvergiert, d.h. $\begin{eqnarray*} f_n(x)=\sum_{i=1}^n a_i 1_{A_i} \end{eqnarray*}$ ,
$\begin{eqnarray*} \int \lim_{n\rightarrow \infty} f_n PX^{-1}(dx)=\sum_{i=1}^{\infty} a_i PX^{-1}(A_i) \end{eqnarray*}$

alles richtig. Das einzige das ich falsch gemacht habe, war der Schritt, den ich anschliessend gemacht habe, indem ich das komische Lemma angewendet habe, was ja so oder so nichts gebracht hat. Das habe ich eben bloss gemacht, weil das gerade oberhalb von diesem Satz im Skript stand. Aber ich kann ja einfach normal umformen:
$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{\infty} a_i PX^{-1}(A_i)=\sum_{z\in X(\Omega)} z P(X=z) \end{eqnarray*}$
Meine Argumentation stimmt jetzt, oder?
Falls ja, danke ich für die Hilfe und Geduld! Freude

Edit: D.h. ich danke so oder so für die Hilfe und Geduld! Augenzwinkern

16.07.2012, 17:05

Math1986

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RE: diskrete Zufallsgrösse, Erwartungswert

Zitat:

Original von Wombat91
$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{\infty} a_i PX^{-1}(A_i)=\sum_{z\in X(\Omega)} z P(X=z) \end{eqnarray*}$
Meine Argumentation stimmt jetzt, oder?
Falls ja, danke ich für die Hilfe und Geduld! Freude

Das stimmt.

16.07.2012, 17:13

Wombat91

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RE: diskrete Zufallsgrösse, Erwartungswert
Ok. Super, danke vielmals! smile

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