A diagonalisierbare Matrix: Suche A^999

16.07.2012, 17:42

blahbel

A diagonalisierbare Matrix: Suche A^999

Hallo, ich suche einen schnellen Weg ohne Taschenrechner A^999 zu berechnen, wobei A die Matrix
A= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 &2 &-2\\ 0 &0 &1 \\0 &-2 &-3\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
ist, und die invertierbare Matrix
T= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 &2 &1 \\ -1 &-1 &0 \\ 2 &1 &0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
A diagonalisiert:
T^-1*A*T = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -2 &0 &0 \\ 0 &-1 &1 \\ 0 &0 &1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
und
T^-1= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 &1 &1 \\ 0 &-2 &-1 \\ 1 &1 &0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Gefragt ist nach dem oberen linken Eintrag von A^999, ich gehe davon aus das ich das nicht per Matrixmultiplikation ausrechnen, sondern den gegebenen Kram irgendwie benutzen soll, aber ich weiß nicht wie und kann im Skript auch nichts dazu finden... kann mir vielleicht jemand einen Tipp geben? Danke im Vorraus!

16.07.2012, 17:59

Math1986

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RE: A diagonalisierbare Matrix: Suche A^999
Du kannst die Gleichung $\begin{eqnarray*} A^{999}=\left(T^{-1}\cdot D\cdot T\right)^{999} \end{eqnarray*}$ verwenden und dann das Assoziativgesetz verwenden.

EDIT:
$\begin{eqnarray*} D = \begin{pmatrix} -2 &0 &0 \\ 0 &-1 &1 \\ 0 &0 &1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Das ist aber keine Diagonalmatrix unglücklich

16.07.2012, 18:21

blahbel

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RE: A diagonalisierbare Matrix: Suche A^999
Hey,

ich habe mich vertan oben, die diagonalisierte Matrix hat natürlich überall außer auf der diagonalen Nullen, die 1 ist falsch.
Wenn ich diese diagonalisierte Matrix potenziere, wie du es ja vorschlägst, wird der Betrag des oberen linken Eintrags immer größer, laut Lösung sollte aber 1 raus kommen.
Was meinst du mit Assoziativgesetz anwenden, wenn ich die Klammer auflöse muss ich ja alle Matrizen mit 999 potenzieren, habe also im Prinzip das gleiche Problem wie vorher, nur mit anderen Matrizen?
Oder überseh ich da irgendwas?

16.07.2012, 18:56

Math1986

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RE: A diagonalisierbare Matrix: Suche A^999
Also:
$\begin{eqnarray*} \left(T^{-1}\cdot D\cdot T\right)^2=\left(T^{-1}\cdot D\cdot T\right)\cdot\left(T^{-1}\cdot D\cdot T\right)=T^{-1}\cdot D\cdot\left( T\cdot T^{-1}\right)\cdot D\cdot T=T^{-1}\cdot D^2\cdot T \end{eqnarray*}$
Entsprechend mit höheren Potenzen.

Du musst dir nun überlegen, wie denn die Potenz einer Diagonalmatrix aussieht und wie du das berechnen kannst.

PS: Und noch ein Tippfehler:
$\begin{eqnarray*} T^{-1}=\begin{pmatrix} 0 &1 &1 \\ 0 &-2 &-1 \\ 1 &2 &0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

PPS: Links oben kommt 0 heraus.

PPPS: Fehler meinerseits:
Es ist
$\begin{eqnarray*} A=T\cdot D\cdot T^{-1} \end{eqnarray*}$

16.07.2012, 18:57

Helferlein

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@blahbel:
Du wirst Dich beim Invertieren vertan haben, denn $\begin{eqnarray*} T^{-1}T \neq E \end{eqnarray*}$

EDit: Sorry, nicht gesehen, dass Du online bist Math. Bin dann natürlich raus.

16.07.2012, 18:58

Math1986

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Zitat:

Original von Helferlein
Du wirst Dich beim Invertieren vertan haben, denn $\begin{eqnarray*} T^{-1}T \neq E \end{eqnarray*}$

Jep, richtig wäre
$\begin{eqnarray*} T^{-1}=\begin{pmatrix} 0 &1 &1 \\ 0 &-2 &-1 \\ 1 &2 &0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

EDIT: Kein Problem Wink

16.07.2012, 19:23

blahbel

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Danke für die Geduld, jetzt versteh ich worauf du hinaus wolltest, hab mich wohl ein bisschen blöd angestellt.
Eine Diagonalmatrix potenziert mit 999 sollte ja dieselbe Diagonalmatrix sein, nur das jeder Eintrag auf der Diagonale einzeln mit 999 potenziert wird...
Wenn ich dann allerdings T^-1*(D^999)*T ausrechne, kommt Murks raus. Ich denke das du dich oben vertan hast und ich eigentlich T*(D^999)*T^-1 ausrechnen müsste, denn:
T^-1*A*T=D <=> T*D*T^-1 = A. Dann kommt auch 1 raus, wie in der Musterlösung vorgegeben :-)

Danke für die Hilfe euch beiden, das hier wird in der Klausur auf jeden Fall drankommen, gut das ich das jetzt kann :-)

16.07.2012, 19:24

Math1986

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Zitat:

Original von blahbel
Eine Diagonalmatrix potenziert mit 999 sollte ja dieselbe Diagonalmatrix sein, nur das jeder Eintrag auf der Diagonale einzeln mit 999 potenziert wird...

Richtig. Der rest stimmt auch.

Zitat:

Original von blahbel
Wenn ich dann allerdings T^-1*(D^999)*T ausrechne, kommt Murks raus. Ich denke das du dich oben vertan hast und ich eigentlich T*(D^999)*T^-1 ausrechnen müsste, denn:
T^-1*A*T=D <=> T*D*T^-1 = A.

Ja, das war mein Fehler unglücklich

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