knifflige Wahrscheinlichkeitsberechnung Dominosteine

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klauss Auf diesen Beitrag antworten »
knifflige Wahrscheinlichkeitsberechnung Dominosteine
Folgende Frage wurde mir privat vorgelegt, welche wohl der Beurteilung von Vollprofis bedarf (daher in Hochschulmathematik):

Ein Supermarkt vergibt derzeit im Rahmen einer Aktion bei jedem Einkauf pro 15 EURO Warenwert einen Ice-Age-Dominostein als Geschenk. Es gibt insgesamt 28 verschiedene Steine. Davon hat eine Person bereits 5 verschiedene Steine in Besitz.

Die Aktion läuft noch bis Mitte August. Wenn die Person bis dahin noch an 30 Tagen einen Einkauf tätigt und dafür jeweils 1 Stein erhält (also insgesamt noch 30 Steine), wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, die Sammlung zu komplettieren, wenn man davon ausgeht, dass die Wahrscheinlichkeit, verschenkt zu werden, für alle Steine gleich ist, also 1/28.

Habe mir mal die ersten 4 Stufen des Ereignisbaums zu Papier gebracht. Die Schwierigkeit besteht darin, dass sich die bedingten Wahrscheinlichkeiten in den einzelnen Zweigen von Stufe zu Stufe ändern oder auch nicht.
Z. B. wenn man einen Stein bekommt, den man schon hat, bleiben die Wahrscheinlichkeiten für den nächsten Tag unverändert, erhält man einen neuen Stein verringert sich die Wahrscheinlichkeit für einen neuen Stein, die Wahrscheinlichkeit, einen bereits vorhandenen zu bekommen, erhöht sich.

Andererseits kann sich die bedingte Wahrscheinlichkeit für "schon vorhandener Stein" in einem Zweig auch sprunghaft ändern, wenn man zwischendurch mehrmals hintereinander einen neuen Stein bekommt.

Gibt es hierfür einen handhabbaren, aber präzisen Rechenweg auf Papier oder hilft hier nur noch der Computer? Man will ja schließlich nicht bis zu 2^30 Teilereignisse aufmalen.

Danke.
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »
RE: knifflige Wahrscheinlichkeitsberechnung Dominosteine
Dieses Problem hatte mich vor einigen Jahren einen ganzen Frankreichurlaub lang verfolgt. In einem Automaten gab es sechs Figuren aus einem Winnie-Pooh-Film, und die einfach scheinende Frage verfolgte mich, nach wieviel Ziehungen die Wahrscheinlichkeit über 50 Prozent ist, daß meine Tochter alle sechs besitzt.

Nach etwa zehn vollgeschriebenen Zetteln gab ich auf und fragte schließlich die Mathegruppe im Usenet, die damals noch nicht so trollverseucht war. Wen's interessiert: hier ist der Thread von damals. Und tatsächlich haben sich auch hier bereits Mathematiker den Kopf zerbrochen, die Lösungsformel enthält sogenannte Stirling-Zahlen (von denen ich vorher noch nie was gehört hatte). So einfach ist die Fragestellung also wohl nicht.

Die Anzahl der Möglichkeiten bei n Ziehungen, alle 28 Steine zu haben, ist somit:



Und insgesamt gibt es bei Ziehungen natürlich Möglichkeiten. Viel Spaß beim Rechnen, mein Matheprogramm steigt bei diesen Zahlen leider aus.

Viele Grüße
Steffen
 
 
allahahbarpingok Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,


das erinnert mich an:

http://de.wikipedia.org/wiki/Sammelbilderproblem


Kannst du ja mal drüberschauen smile
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: knifflige Wahrscheinlichkeitsberechnung Dominosteine
Zitat:
Original von klauss
Gibt es hierfür einen handhabbaren, aber präzisen Rechenweg auf Papier oder hilft hier nur noch der Computer? Man will ja schließlich nicht bis zu 2^30 Teilereignisse aufmalen.

Es gibt schon einen Weg, das bequem zu berechnen. Aber er hat doch deutlich über 100 Rechenschritte. Das wird man nicht gern ohne Computer machen. Es sei die Wahrscheinlichkeit, dass man nach m Sammelrunden genau n verschiedene Steine hat. N sei die Gesamtzahl verschiedener Steine, bei dir also 28. Dann gilt:



Man hatte in der Vorrunde n - 1 verschiedene Steine und bekommt einen neuen Stein oder man hatte in der Vorrunde schon n verschiedene Steine und bekommt keinen neuen Stein. Hat man nun für ein m für alle n, ergibt sich aus obiger Formel für alle n.

Der Ausgangszustand habe bei dir die Rundennummer m = 0. Dann ist und für alle . Mit einem Mini-Programm oder einem Tabellenkalkulationsprogramm hat man schnell für die weiteren 30 Runden ermittelt.
klauss Auf diesen Beitrag antworten »
RE: knifflige Wahrscheinlichkeitsberechnung Dominosteine
Na besten Dank für die Hinweise. Da bin ich jedenfalls beruhigt, dass die Frage zwar bekannt und auch lösbar, aber nicht "trivial" ist. Wäre unangenehm gewesen, wenn ich bloß irgendwas übersehen hätte und die Lösung sich auf eine einfache Grundformel hätte zurückführen lassen.
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